Mikroökonomie
Vorlesung 2
Einführung
Motivation: Nvidia
Die Nvidia Corporation ist einer der größten Entwickler von Grafikprozessoren und Chipsätzen für Personalcomputer, Server und Spielkonsolen
- 1993 gegründet, heute vor allem durch seine GPUs bekannt, die für KI Anwendungen notwendig sind
Motivation: Herstellung von Halbleitern
Die Herstellung und der Vertrieb von GPUs und Chipsätzen benötigt
- Silizium, Seltene Erden, sowie andere Chemikalien
- “Fabs” (Taiwan, China, USA) und hochmoderne Maschinen (von ASML)
- Forschung und Design, also Wissenschaftler und andere “high-skill” Mitarbeiter:innen + gut ausgebildete Mitarbeiter:innen im Dienstleistungsbereich (Administration, Marketing, Logistik, Catering etc.)
Aus diesem komplexen Gebilde ergeben sich wichtige Fragen
Wie sollen diese Inputs kombiniert werden, um möglichst gute Chips zu niedrigen Preisen zu produzieren?
Welche Mengen werden zu welchen Preisen angeboten, um maximale Gewinne zu erzielen?
Über Nvidia hinaus: wie sieht das Marktangebot für GPUs dementsprechend aus? Welche Wohlfahrtsimplikationen für Unternehmen ergeben sich aus Schocks?
Überblick und Ressourcen
Ziele
Modellierung des individuellen Angebots einzelner Unternehmen durch Kostenminimierung und Gewinnmaximierung
Herleitung des Branchenangebots und der Produzentenrente als Wohlfahrtskonzept
Ressourcen
Kapitel im Varian: 19, 21 - 24
Produktion und Technologie
Technologie
Ein Unternehmen benutzt Produktionsfaktoren (Inputs) um Outputs zu erzeugen
- z.B. Arbeit, Kapital, Rohstoffe, Wissen, Vor- und Zwischenprodukte werden zu Output verarbeitet
Nvidia
Eine Technologie beschreibt, welche Kombinationen von Faktoren zu welchen Outputs führen können, also welche Produktionspläne durchführbar sind
Die Produktionsfunktion
Die Produktionsfunktion beschreibt die maximal mögliche Outputmenge bei verschiedenen Inputbündeln \[
y = f(x_1,...,x_n)=f(\boldsymbol{x})
\] Die Funktionen selbst ähneln unseren Nutzenfunktionen, da ähnliche Eigenschaften wichtig sind (Cobb-Douglas, perfekte Substitute, perfekte Komplemente etc.)
Zumeist sind Produktionsfunktionen monoton
Mehr von einem Input generiert mehr Output
Das
Grenzprodukt(Marginal Product) eines Faktors ist also positiv: \(MP_i\equiv \partial y(\boldsymbol{x})/\partial x_i \geq 0\)
Meist sind sie auch konvex: “die Mischung macht’s”, denn Grenzprodukte fallen im Faktoreinsatz
\[ \partial MP_i/\partial x_i \leq 0 \]
Illustration: Grenzprodukte
Isoquanten
Eine Isoquante ist die Menge aller möglichen Kombinationen von Faktoren, die genau ausreicht, um eine vorgegebene Menge des Outputs zu erzeugen
- Jede Isoquante repräsentiert ein spezifisches Output-Niveau
Die Technische Rate der Substitution ist negativ und nimmt zu
\[ TRS_{i,j} \equiv -\frac{MP_i}{MP_j}, \ \ \ \ \ \ \frac{\partial \ TRS_{i,j}}{\partial x_i}>0 \]
Grafik: Produktion in Zweifaktorenfall
Die kurze und die lange Frist
Im Gegensatz zu Konsum-/Kaufentscheidungen können Produktionsfaktoren nicht immer sofort angepasst werden (wenn man so will, ein Aspekt von Technologie)
Kurzfristig wird es Faktoren geben, die auf vorherbestimmten Niveaus fixiert sind, also zu Fixkosten führen
Installation bzw. Entfernen von Maschinen
Arbeitsgesetze und andere langfrist-Verträge (z.B. Mietverträge)
Langfristig können alle Faktoren frei angepasst werden
Teamarbeit: Welche Faktoren kann Nvidia kurzfristig anpassen?
Skalenerträge
Oft hört man Sätze wie “Wir müssen das Geschäft schnell hochskalieren”, also alle Produktionsfaktoren erhöhen - warum??
Bestimmte Technologien bzw. Produktionsfunktionen implizieren, dass man produktiver wird, wenn man größer ist. Dann haben wir
steigendeSkalenerträge: \[ f(tx_1, tx_2) > tf(x_1, x_2), \ \ \ \ \ t > 1 \]Manchmal führen bspw. fixe Produktionsfaktoren wie Gebäude dazu, dass Skalenerträge
fallen\[ f(tx_1, tx_2) < tf(x_1, x_2), \ \ \ \ \ t > 1 \]Auch wenn Skalenerträge gerade langfristig u.a. durch Synergien steigen, kann man oft mittelfristig Produktionskapazitäten eins-zu-eins kopieren; dann sprechen wir von
konstantenSkalenerträgen \[ f(tx_1, tx_2) = tf(x_1, x_2), \ \ \ \ \ t > 1 \]
Teamarbeit: Wo sehen Sie im konkreten Fall Nvidia diese drei Arten von Skalenerträgen?
Beispiele zu Skalenerträgen
Nehmen wir an, die Produktionsfunktion lautet
\[ y=f(K,L)= K^{0.3}+L^{0.7} \]
Welche Skalenerträge gibt es?
Antwort: Konstante Skalenerträge, da \(f(tK,tL)=(tK)^{0.3}(tL)^{0.7}=t \times K^{0.3}L^{0.7}\)
Und wenn \(f(K,L)=K^2+L^2\)?
Antwort: Steigende Skalenerträge, da \(f(tK,tL)=(tK)^2+(tL)^2= t^2 \times [K^2+L^2]\)
Das Verhalten einer Firma: Kostenminimierung
Kostenminimierungproblem
Unser Ziel ist es, ein Marktangebot zu modellieren, das auf optimalen Entscheidungen von Unternehmen basiert
Dazu werden wir zunächst die Kostenfunktion einer Firma herleiten - anschließend kann sie entscheiden, welche Menge sie optimalerweise produziert
Das Kostenminimierungsproblem lautet \[
\min_{\boldsymbol{x}} \; \sum_{i} w_i x_i, \ \ \ u.d.N. \ \ f(\boldsymbol{x}) = y
\]
- wobei \(w_i\) die
Faktorpreiseangeben und \(y\) eine unbestimmte Outputmenge darstellt
Hinweis: Faktorpreise nehmen Unternehmen aufgrund vollkommenen Wettbewerbs auf den Faktormärkten als gegeben hin – mehr dazu später!
Lösung
Das Ergebnis des Problems ist eine Kostenfunktion \[
c(\boldsymbol{w},y)
\]
Im Optimum müssen die relativen Kosten eines Faktors seinem relativen Grenzprodukt entsprechen
Formal haben wir also für alle Faktoren \(i\) und \(j\) \[ \frac{w_i}{w_j} = \frac{MP_i}{MP_j} \equiv - TRS_{i,j} \]
Grafische und intuive Lösung
Nehmen wir wieder den einfachen Zweifaktorenfall an
Wie bei der Nutzenmaximierung können wir die Kostenfunktion finden, indem wir einen Tangentialpunkt bestimmen
- Auf Technologieseite betrachten wir die Isoquante, die dem Outputniveau \(y\) entspricht
- Auf Kostenseite ergibt sich durch die Faktorpreise eine
Isokostengerademit Kostenniveau \(C\) \[ w_1 x_1 + w_2 x_2 = C \ \ \ \leftrightarrow \ \ \ x_2 = \frac{C}{w_2} - \frac{w_1}{w_2} x_1 \]
Im Optimimum muss die Steigung der Isokostengerade also der Steigung der Isoquanten entsprechen, \(-w_1/w_2=TRS_{i,j}\) (siehe nächste Folie)
Grafische Darstellung der Kostenminimierung
Cobb-Douglas Beispiel mit zwei Faktoren
Das Kostenminimierungsproblem mit Produktionsfunktion \(f(x_1,x_2)=x_1^{\alpha}x_2^{\beta}\) lautet
\[ \min_{\boldsymbol{x}} \; w_1 x_1 + w_2 x_2, \ \ \ u.d.N. \ \ x_1^{\alpha}x_2^{\beta} = y \]
Die Bedingung erster Ordnung lautet (Lagrange oder Folie 17; asterisk für optimale Lösung ausgelassen)
\[ \frac{w_1}{w_2}=\frac{\alpha x_1^{\alpha-1}x_2^{\beta}}{\beta x_1^{\alpha}x_2^{\beta-1}}=\frac{\alpha}{1-\alpha}\frac{x_2}{x_1} \ \Leftrightarrow \ x_2 = \frac{\beta}{\alpha} \frac{w_1}{w_2} x_1 \]
Einsetzen in die Produktionsfunktion ergibt
\[ y=x_1^{\alpha}\left (\frac{\beta}{\alpha} \frac{w_1}{w_2} x_1 \right)^{\beta} = x_1^{\alpha+\beta} \left (\frac{\beta}{\alpha}\frac{w_1}{w_2} \right)^{\beta} \ \Leftrightarrow \ x_1 = \left (\frac{\beta}{\alpha} \frac{w_1}{w_2} \right)^{-\frac{\beta}{\alpha+\beta}} y^{\frac{1}{\alpha+\beta}} \]
und
\[ x_2 = \frac{\beta}{\alpha} \frac{w_1}{w_2} x_1 = \frac{\beta}{\alpha} \frac{w_1}{w_2} \left (\frac{\beta}{\alpha} \frac{w_1}{w_2} \right)^{-\frac{\beta}{\alpha+\beta}} y^{\frac{1}{\alpha+\beta}} = \left (\frac{\beta}{\alpha} \frac{w_1}{w_2} \right)^{\frac{\alpha}{\alpha+\beta}} y^{\frac{1}{\alpha+\beta}} \]
Einsetzen in die Kostenfunktion ergibt
\[ C(w_1,w_2,y) = w_1 x_1 + w_2 x_2 = w_1 \left (\frac{\beta}{\alpha} \frac{w_1}{w_2} \right)^{-\frac{\beta}{\alpha+\beta}} y^{\frac{1}{\alpha+\beta}} + w_2 \left (\frac{\beta}{\alpha} \frac{w_1}{w_2} \right)^{\frac{\alpha}{\alpha+\beta}} y^{\frac{1}{\alpha+\beta}} = \left [\frac{(\alpha+\beta)^{\alpha+\beta}}{\alpha^{\alpha}\beta^{\beta}w_1^{\alpha}w_2^{\beta}} \right]^\frac{1}{\alpha+\beta} y^\frac{1}{\alpha+\beta} \]
Kostenarten
Je nach Zeithorizont und Art der involvierten Faktoren kann man verschiedene Kostenarten unterscheiden:
Fixe Kostensind unabhängig vom Produktionsniveau und fallen auch ohne Output an; sie sind ein Phänomen der kurzen FristQuasifixe Kostensind unabhängig vom Outputniveau, entstehen aber nur, wenn das Unternehmen eine positive Outputmenge erzeugtVariable Kostensind Ausgaben, die sich mit der Produktionsmenge \(y\) verändernVerlorene Kostensind bereits angefallene, nicht wieder einholbare Ausgaben, die für zukünftige Entscheidungen irrelevant sind
Beispiel für Kostenarten
Teamarbeit: ordnen Sie gemeinsam die folgenden Kosten in der Tabelle ein
| Kosten | fix | quasi-fix | variabel | verloren |
|---|---|---|---|---|
| Büromiete (Jahresvertrag) | ||||
| Forschung und Entwicklung | ||||
| Serverwartung | ||||
| Marketing | ||||
| Produktionsanlagen | ||||
| Mitarbeiterschulungen | ||||
| Grafikprozessorenentwicklung | ||||
| Prototypen | ||||
| Komponenten (z.B. Chips) | ||||
| Strom für Produktionsstätten |
Nützliche Konzepte und Eigenschaften von Kostenkurven
Die Gesamtkosten eines Unternehmens sind \[ c(y) = F + c_v(y). \]
Für \(y > 0\) sind die Durchschnittskosten (Average Costs) \[
AC(y) = \frac{F}{y} + \frac{c_v(y)}{y} = AFC(y) + AVC(y).
\]
\(AFC(y)\) - Average Fixed Costs (durchschnittliche Fixkosten)
\(AVC(y)\) - Average Variable Costs (durchschnittliche variable Kosten)
Grenzkosten (Marginal Costs) sind die Änderungsrate der Produktionskosten bei einer Änderung der Outputmenge \[
MC(y) = \frac{\partial c(y)}{\partial y}
\]
Teamarbeit: Wie lauten die Grenz- und Durchschnittskosten mit Cobb-Douglas (Folie 20)? Mit konstanten Skalenerträgen?
Grafische Illustration von Kostentypen
Das Verhalten der Unternehmung: das individuelle Angebot
Gewinnmaximierung
Kostenminimierung: Dass Unternehmen ihre Kosten minimieren wollen, erscheint zunächst als plausibel und unkontrovers
Um Angebotsfunktionen und letztlich ein Marktangebot zu modellieren, nehmen wir zudem Gewinnmaximierung in der betrachteten Periode an
Realistisch? Alternativ könnten Marktanteile, philanthropische Ziele (viele non-profits), individuelle Interessen (Familienunternehmen) oder sogar Schäden (hacker, fake news) im Mittelpunkt stehen
Realistisch? Unternehmen müssen investieren und planen für unterschiedliche Zeithorizonte
Gewinnmaximierung ist eine gute Approximation, insbesondere für börsennotierte Unternehmen wie Nvidia, und die Frist wird durch die Kostenfunktion abgebildet
Aber was ist der ökonomische Gewinn?
- Alle Umsätze abzüglich aller Faktorentlohnungen zu Marktpreisen
Das Marktumfeld
Für die Angebotsseite benötigen wir außerdem Annahmen darüber, wie Unternehmen mit Kunden interagieren
- Für unseren Benchmark nehmen wir an, dass Unternehmen keinerlei
Marktmachtbesitzen (dies ist eine der problematischen Annahmen, die wir später in der Vorlesung genau unter die Lupe nehmen)
- Auf Output- und Faktormärkten sind sie
Preisnehmerund bieten zum jeweiligen Preis eine bestimmte Menge an oder fragen bestimmte Mengen nach
Vollkommener Wettbewerbist eine Möglichkeit, diese Annahme zu begründen
Teamarbeit: Welche Güter- oder Dienstleistungsmärkte sind mit diesem Modell gut oder weniger gut beschrieben?
Herleitung des kurzfristigen individuellen Angebots
Das Gewinnmaximierungsproblem lautet unter diesen Annahmen \[
\max_{y \geq 0} \pi(y) = py - c(y)
\]
Die notwendige Bedingung erster Ordnung ist \[ \underbrace{p}_{\text{Grenzerlös} \\ \ \ \ \ \ MR} \leq \underbrace{ \frac{\partial c(y^*)}{\partial y}}_{\text{Grenzkosten} \\ \ \ \ \ \ \ \ MC} \underbrace{= \frac{\partial c_v(y^*)}{\partial y}}_{\text{kurzfristig}} \]
Unternehmen vergleichen also Grenzerlös (Marginal Revenue) mit Grenzkosten
Verdiene ich mit der nächsten produzierten Einheit mehr als sie kostet? Dann muss ich mehr produzieren und \(y^*\) ist kein Optimum
Verdiene ich weniger? Dann muss ich mein Angebot weiter reduzieren
Hinweise zum individuellen Angebot
Beachte: die Bedingung erster Ordnung ist eine schwache Ungleichung, denn es kann optimal sein, nichts zu produzieren
Beachte: Kurzfristig werden die Fixkosten ignoriert; es muss daher kurzfristig eine Stillegungsbedingung gelten \[
py^{*,s} - c_v(y^{*,s}) - F \geq -F \ \ \ \leftrightarrow \ \ \ p \geq \frac{c_v(y^{*,s})}{y^{*,s}} = AVC(y^{*,s})
\]
Zusammengefasst ist die inverse individuelle Angebotskurve
\[ p = MC(y) \]
Typischerweise hat sie eine schwach positive Steigung, da die Grenzkosten bei größerer Menge ebenfalls höher sind (siehe Stillegungsbedingung)
Das Branchenangebot
Kurzfristiges Branchenangebot
Bei \(n\) Unternehmen im Markt ist die Angebotskurve
\[ S(p) = \sum_{i=1}^n y_i(p). \]
Dieses Marktangebot steigt typischerweise im Preis
Da alle Unternehmen annahmegemäß den gleichen Preis verlangen müssen, um zu verkaufen, haben wir u.U. eine spannende Situation
Liegt ein beliebiger Preis \(p'\) über den Durchschnittskosten \(AC_i(y_i(p'))\) eines Unternehmens \(i\), so macht dieses einen
ökonomischen GewinnLiegt er darunter, macht es einen Verlust
Langfristiges Branchenangebot: Eintritt und Austritt
Diese Situation entsteht kurzfristig, da es keinen Marktein- oder -austritt gibt
- Das langfristige Angebot sollte daher nicht nur die langfristige Kostenfunktion, sondern auch Ein- und Austritt berücksichtigen
Gibt es keine Markteintrittsbarrieren, werden so lange Unternehmen eintreten bzw. Produktionskapazitäten geschaffen, bis alle Gewinne auf Null gedrückt werden
Die Angebotskurve wird somit flacher bzw. elastischer
Produzieren alle Unternehmen mit der gleichen Technologie, ist das langfristige Angebot flach bei \(p=AC(y^{min})\), wobei \(y^{min}\) das Minimum der Durchschnittskostenkurve beschreibt
Nützliches Konzept: Produzentenrente
Analog zur Konsumentenrente definieren wir die Produzentenrente
Wie jede ökonomische Rente entspricht sie der Differenz zwischen Preis und den Opportunitäts- bzw. Produktionskosten
Im Fall eines Unternehmens also Umsatz minus variable Produktionskosten
Da letztere einfach dem Integral der Grenzkosten bis zur Produktionsmenge entsprechen, ist die Produzentenrente die Fläche links der Angebotskurve unterhalb des relevanten Preises
Grafische Darstellung von Marktangebot und Produzentenrente
Wiederholungsfragen
Inwiefern ist eine Unterscheidung zwischen kurzer und langer Frist für Unternehmen wichtig?
Laden Sie die Kostenminimierungsgrafik auf Folie 18. Erklären Sie in Ihren Worten, welche Kurven zu sehen sind, welche Interpretation sie haben, und wie man mit ihrer Hilfe die Kostenfunktion eines Unternehmens finden kann.
Laden Sie die Grafik auf Folie 32.
Machen Sie die Angebotskurve elastischer. Repräsentiert diese Kurve nun ein langfristigeres Angebot?
Erklären Sie den Begriff Produzentenrente in eigenen Worten. Blenden Sie diese in der Grafik ein und ergründen Sie, wovon die Höhe der Produzentenrente abhängt.
© Prof. Frank Pisch PhD | Fachgebiet Mikroökonomie