Mikroökonomie
Vorlesung 1
Motivation
Nachfrage als eine Seite auf allen Märkten
Aggregierte Nachfrage
Um Märkte zu verstehen, brauchen wir eine Vorstellung der Nachfrage
Zusammen mit dem Angebot bestimmt sie Preise und Konsum
Sie sagt uns, wer wie viel konsumiert und somit wie es um die
Konsumentenwohlfahrtsteht
Individuelle Nachfrage
Marktnachfrage wird (heutzutage) immer auf individuelle Nachfragen, also auf das Entscheidungsverhalten von einzelnen Konsument zurückgeführt.
In der Einführungsvorlesung haben wir uns Ihre Nachfrage nach Smartphones angesehen. Wovon hängt sie ab?
Ihr Bedarf bzw. Ihre Wünsche
Ihr (knappes) Budget und der Preis
Ob Sie beides gut in Einklang bringen können
In der VWL haben wir dafür spezielle Namen, aber die Interpretation ist gleich
PräferenzenBudgetOb Sie rational und insbesondere
nutzenmaximierendhandeln
Überblick und Ressourcen
Ziele
Verstehen, wie Ökonomen über Präferenzen und Budgets nachdenken
Analysieren, wie optimale Nachfrageentscheidungen und eine Marktnachfrage zustande kommen
Nützliche Konzepte entwickeln und verstehen, die uns auch später helfen werden
- Inbesondere in Bezug auf Wohlfahrt
Ressourcen
(Einige) Kapitel im Varian: 2 - 8, 14, 15
Interaktive Diagramme
Budget
Der Zweigüterfall
Betrachten wir 2 Güter – ohne Beschränkung der Allgemeinheit
- Waren, Dienstleistungen, andere Dinge wie frische Luft
Ein Güterbündel ist \(\boldsymbol{x} \equiv (x_1,x_2)\), wobei \(x_i\geq 0\) die konsumierte Menge darstellt
Die dazugehörigen Preise \(p_i\) pro Einheit sind für Konsumenten gegeben und einheitlich
Das verfügbare Budget ist \(m\)
Budgetbeschränkung: Was kann man sich leisten?
Die Budgetmenge enthält alle Güterbündel, die bei den aktuellen Preisen erschwinglich sind \[
\boldsymbol{x}'\boldsymbol{p} = p_1 x_1 + p_2 x_2 \leq m
\]
Sie wird durch die Budgetgerade abgegrenzt, also die Menge aller Güterbündel, die das Budget vollkommen erschöpfen
\[ x_2 = \frac{m}{p_2}-\frac{p_1}{p_2}x_1 \]
Die Steigung zeigt an, mit welcher Rate die beiden Güter auf der Budgetgerade füreinander substituiert werden können, also die Opportunitätskosten
Opportunitätskosten
Opportunitätskosten sind allgemein die ökonomischen Kosten einer Entscheidung, also der Wert der nächstbesten ungenutzten Alternative. Im Kontext der Budgetgeraden entsprechen diese der Steigung:
\[ \frac{\mathrm{d}x_2}{\mathrm{d}x_1} = -\frac{p_1}{p_2} \]
Opportunitätskosten im Fokus
Opportunitätskosten sind vielleicht das wichtigste Konzept in den Wirtschaftswissenschaften (und darüber hinaus)
Einige Beispiele:
Studieren und insbesondere ein Doktorat haben hohe Opportunitätskosten: entgangenes Einkommen und Erfahrung
Jede Ausgabe – zum Beispiel eine Investition – hat Opportunitätskosten in Höhe des “Zinses”, den das Geld angelegt erwirtschaftet hätte
DIY (z.B. Heimwerkeln) ist immer eine Abwägung, da die eigene Zeit auch anders genutzt werden kann
- Putzhilfe in der WG??
Forschung vs Administration und Spezialisierung nach
komparativem Vorteil
Aber kehren wir zurück zur Budgetbeschränkung…
Budgetbeschränkung: was kann man sich leisten?
#| standalone: true
#| viewerHeight: 600
library(shiny)
options(shiny.mathjax.url = "https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js")
library(ggplot2)
# Define UI
ui <- fluidPage(
br(),
withMathJax(),
sidebarLayout(
sidebarPanel(
h3("Nutzenmaximierung"),
tabsetPanel(
tabPanel("Hauptmenü", width = "400px",
br(),
p("\\(\\alpha\\) ist der Hauptparameter für die Nutzenfunktion. Unter \"Erweitert\" finden Sie weitere Optionen und können Budgetbeschränkungen umschalten."),
sliderInput(inputId = "alpha",
label = "Wähle \\(\\alpha\\)",
min = 0.01,
max = 0.99,
value = 0.5,
step = 0.01),
selectInput("utilityType",
"Wähle Nutzenfunktion:",
choices = c("Cobb-Douglas" = "cd",
"Perfekte Substitute" = "ps",
"Perfekte Komplemente" = "pc"
# ,
# "CES" = "ces"
)),
uiOutput('formula'),
checkboxInput("showBudgetLine",
"Zeige Budgetbeschränkung",
value = FALSE),
checkboxInput("showIndifferenceCurve",
"Zeige Indifferenzkurven",
value = FALSE)
),
tabPanel("Erweitert",
br(),
sliderInput("Px",
"Preis von Gut 1",
min = 1,
max = 5,
value = 4,
step = 0.1),
sliderInput("Py",
"Preis von Gut 2",
min = 1,
max = 5,
value = 2,
step = 0.1),
sliderInput("budget",
"Budget",
min = 100,
max = 300,
value = 200,
step = 1),
br(),
actionButton("reset", "Reset")
)
)
),
mainPanel(
align="center",
plotOutput(outputId = "utilityPlot", height = "550px", width = "600px"),
)
)
)
# Define server logic
server <- function(input, output) {
# Define utility functions
utility_function <- function(alpha, x, y, type) {
if (type == "cd") {
return(x^alpha * y^(1 - alpha))
}
if (type == "ps") {
return(alpha*x + (1-alpha)*y)
}
if (type == "pc") {
return(pmin(alpha*x, y))
}
# if (type == "ces") {
# rho = 0.5
# return((alpha*x^rho + (1-alpha)*y^rho)^(1/rho))
# }
}
# Find maximal utility
maximizeUtility <- function(budget, Px, Py, alpha, type) {
if (type == "cd") {
quantity_x <- (alpha * budget) / Px
quantity_y <- ((1 - alpha) * budget) / Py
max_utility <- utility_function(alpha, quantity_x, quantity_y, "cd")
} else if (type == "ps") {
utility_per_dollar_x <- alpha / Px
utility_per_dollar_y <- (1 - alpha) / Py
if (utility_per_dollar_x > utility_per_dollar_y) {
quantity_x <- budget / Px
quantity_y <- 0
} else {
quantity_x <- 0
quantity_y <- budget / Py
}
max_utility <- utility_function(alpha, quantity_x, quantity_y, "ps")
} else if (type == "pc") {
quantity_x <- budget / (Px + alpha * Py)
quantity_y <- alpha * (budget / (Px + alpha * Py))
max_utility <- utility_function(alpha, quantity_x, quantity_y, "pc")
}
# else if (type == "ces") {
# objective_function <- function(x) {
# y <- (budget - Px*x) / Py
# utility_function(alpha, x, y, "ces")
# }
# lower_bound <- 0
# upper_bound <- budget / Px
# optimization_result <- optimize(objective_function, interval = c(lower_bound, upper_bound), maximum = TRUE)
# quantity_x <- optimization_result$maximum
# quantity_y <- (budget - Px*quantity_x) / Py
# max_utility <- optimization_result$objective
# }
else {
stop("Unknown utility function type.")
}
return(list(max_utility = max_utility, quantity_x = quantity_x, quantity_y = quantity_y))
}
output$utilityPlot <- renderPlot({
alpha <- input$alpha
Px <- input$Px
Py <- input$Py
budget <- input$budget
type <- input$utilityType
showBudgetLine <- input$showBudgetLine
showIndifferenceCurve <- input$showIndifferenceCurve
maxutil_all <- maximizeUtility(budget, Px, Py, alpha, type)
maxutil <- maxutil_all$max_utility
quantity_x <- maxutil_all$quantity_x
quantity_y <- maxutil_all$quantity_y
x <- c(seq(1, 100, by = 2), seq(round(quantity_x*0.75, 1), round(quantity_x*1.25, 1), by = .1))
y <- c(seq(1, 100, by = 2), seq(round(quantity_y*0.75, 1), round(quantity_y*1.25, 1), by = .1))
grid <- expand.grid(x = x, y = y)
grid$utility <- utility_function(alpha, grid$x, grid$y, type)
if(showIndifferenceCurve) {
plot <- ggplot(grid, aes(x = x, y = y)) +
geom_contour(aes(z = utility), breaks = c(maxutil), color = "red") +
geom_contour(aes(z = utility), breaks = c(maxutil*0.8, maxutil*1.2), color = "red", linetype = "dashed") +
coord_cartesian(xlim = c(0, 100), ylim = c(0, 100)) +
theme_minimal()+
labs(x = expression(x[1]), y = expression(x[2])) +
theme(
axis.title.x = element_text(size = 20), # Adjust the font size of x-axis label
axis.title.y = element_text(size = 20) # Adjust the font size of y-axis label
)
} else if(showBudgetLine){
plot <- ggplot(grid, aes(x = x, y = y)) +
geom_abline(intercept = budget/Py, slope = -Px/Py, color = "blue") +
geom_blank() +
coord_cartesian(xlim = c(0, 100), ylim = c(0, 100)) +
theme_minimal()+
labs(x = expression(x[1]), y = expression(x[2])) +
theme(
axis.title.x = element_text(size = 20), # Adjust the font size of x-axis label
axis.title.y = element_text(size = 20) # Adjust the font size of y-axis label
)
} else {
plot <- ggplot(grid, aes(x = x, y = y)) +
coord_cartesian(xlim = c(0, 100), ylim = c(0, 100)) +
theme_minimal()+
labs(x = expression(x[1]), y = expression(x[2])) +
theme(
axis.title.x = element_text(size = 20), # Adjust the font size of x-axis label
axis.title.y = element_text(size = 20) # Adjust the font size of y-axis label
)
}
if(showBudgetLine && showIndifferenceCurve){
plot <- plot + geom_abline(intercept = budget/Py, slope = -Px/Py, color = "blue")+
annotate("segment", x = quantity_x, xend = quantity_x, y = 0, yend = quantity_y, linetype = "dashed")+
annotate("segment", x = 0, xend = quantity_x, y = quantity_y, yend = quantity_y, linetype = "dashed")+
annotate("label", x = quantity_x, y = 0, label = round(quantity_x, 2))+
annotate("label", x = 0, y = quantity_y, label = round(quantity_y, 2))+
geom_contour(aes(z = utility), breaks = c(maxutil), color = "red") +
geom_contour(aes(z = utility), breaks = c(maxutil*0.8, maxutil*1.2), color = "red", linetype = "dashed") +
coord_cartesian(xlim = c(0, 100), ylim = c(0, 100)) +
theme_minimal()+
labs(x = expression(x[1]), y = expression(x[2])) +
theme(
axis.title.x = element_text(size = 20), # Adjust the font size of x-axis label
axis.title.y = element_text(size = 20) # Adjust the font size of y-axis label
)
}
plot
})
observeEvent(input$reset, {
updateSliderInput(inputId = "alpha", value = 0.5)
updateCheckboxInput(inputId = "showBudgetLine", value = FALSE)
updateCheckboxInput(inputId = "showIndifferenceCurve", value = FALSE)
updateSliderInput(inputId = "Px", value = 4)
updateSliderInput(inputId = "Py", value = 2)
updateSliderInput(inputId = "budget", value = 200)
})
output$formula <- renderUI({
formula <- switch(input$utilityType,
"cd" = "$$U(x_1, x_2) = x_1^{\\alpha} x_2^{1-\\alpha}$$",
"ps" = "$$U(x_1, x_2) = \\alpha x_1 + (1-\\alpha) x_2$$",
"pc" = "$$U(x_1, x_2) = \\min(\\alpha x_1, x_2)$$",
#"ces" = "$$U(x, y) = (\\alpha x^{\\rho} + (1-\\alpha) y^{\\rho})^{\\frac{1}{\\rho}}$$",
"")
withMathJax("Formel: ", formula)
})
}
# Run the application
shinyApp(ui = ui, server = server)Präferenzen und Nutzen
Präferenzen: was möchte man haben?
In der VWL modellieren wir Bedürfnisse und Wünsche mithilfe von Präferenzen
- Nehmen wir zwei Güterbündel, \(\boldsymbol{x} = (x_1,x_2)\) und \(\boldsymbol{y} = (y_1,y_2)\)
- Sagen wir, Gut 1 ist ein iPhone 15, Gut 2 ein Samsung S24
- Manche von Ihnen
bevorzugen striktApple; dann schreiben wir \[ (1,0) \succ (0,1) \] - Und wenn ich Ihnen noch ein S24 oben drauf packe? Dann sind Sie vielleicht
indifferent\[ (1,0) \sim (0,2) \] - Vielleicht ist es Ihnen nicht ganz klar, aber Sie finden das S24 ganz sicher nicht besser? Dann haben Sie eine
schwache Präferenzfür das iPhone \[ (1,0) \succsim (0,1) \]
Alle Operatoren zeigen Präferenzrelationen – diese werden uns sehr helfen, wenn wir die Nachfrage finden wollen
“Vernünftige” Präferenzen
Wir nehmen für unsere Konsumenten zumeist an, dass ihre Präferenzen bestimmte Eigenschaften erfüllen, sodass sie “wohlverhalten” sind (man also mit ihnen gut arbeiten kann):
vollständig \[ \boldsymbol{x} \succsim \boldsymbol{y} \ \ \lor \ \ \boldsymbol{y} \succsim \boldsymbol{x} \ \ \ \ \forall \ \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \]
reflexiv \[ \boldsymbol{x} \succsim \boldsymbol{x} \ \ \ \ \forall \ \boldsymbol{x} \]
transitiv (das \(\land\) steht für das logische “Und”) \[ \boldsymbol{x} \succsim \boldsymbol{y} \ \ \land \ \ \boldsymbol{y} \succsim \boldsymbol{z} \ \ \implies \ \boldsymbol{x} \succsim \boldsymbol{z} \ \ \ \ \forall \ \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z} \]
monoton \(\leftrightarrow\) keine Sättigung \[ x_i \geq y_i \ \ \ \ \forall \ i \ \ \implies \ \ \boldsymbol{x} \succsim \boldsymbol{y} \]
stetig
Teamarbeit: wie realitätsfern sind diese Annahmen?
Nützliche Beschreibung: Die Nutzenfunktion
Optimale Entscheidungen nur mithilfe von Präferenzrelationen zu finden ist schwierig…
Können wir vielleicht jedem Bündel einen Wert zuweisen, sodass die Präferenzen repräsentiert werden?
Mit unseren Annahmen ist dies garantiert!
Wir haben dann sogar wohlverhaltene Funktionen
Diese Nutzenfunktionen werden zumeist als \(u(\boldsymbol{x}) = u(x_1,x_2)\) notiert
Teamarbeit: Gehen Sie zurück auf Folie 13 und finden Sie Funktionen, die die jeweiligen Präferenzen repräsentieren könnten!
Kardinaler vs Ordinaler Nutzen
Sie haben sicher festgestellt: die gleichen Präferenzen können durch unendlich viele Funktionen dargestellt werden
Nutzenfunktionen sind also immer ordinal: Sie geben nur Reihenfolgen an und absolute (kardindale) Unterschiede im Nutzenwert haben keine Bedeutung
Somit können wir immer monotone Transformationen auf Nutzenfunktionen anwenden und die resultierende Funktion repräsentiert die selben Präferenzen!
Das steht in großen Kontrast zur Volkswirtschaftslehre in den Anfängen: im 18. Jahrhundert war “Nutzen” messbar und absolut…
Beispiele für Nutzenfunktionen
- Perfekte Substitute
\[ u(\boldsymbol{x}) = x_1 + x_2 \]
- Perfekte Komplemente
\[ u(\boldsymbol{x}) = \mathrm{min}\{x_1,x_2\} \]
- Cobb-Douglas
\[ u(\boldsymbol{x}) = x_1^{\alpha}x_2^{1-\alpha} \ \ \ \ \text{with} \ \alpha \in (0,1) \]
- Quasilineare Präferenzen
\[ u(\boldsymbol{x}) = v(x_1) + x_2, \ \ \ \ \ \text{mit} \ \ \ \ v'>0, \ \ v''<0 \]
Teamarbeit: Beschreiben Sie das Verhalten dieser Präferenzen in Worten!
Nützliche Konzepte und das Verhalten von Nutzenfunktionen
Überblick
In diesem Teil lernen wir zwei nützliche Konzepte kennen, die uns helfen werden, Nutzenfunktionen besser zu verstehen und später die Nachfrage herzuleiten.
Grenznutzen
Indifferenzkurven
Auch wenn beide Konzepte zunächst formalistisch anmuten, können wir sie mithilfe von Beispielen leicht verstehen.
Oktoberfest
Grenznutzen ist positiv, aber abnehmend!
Indifferenzkurven geben an, in welchen Verhältnissen Güter konsumiert werden können, ohne dass sich das Nutzenniveau ändert.
Zentrales Konzept: Grenznutzen
Betrachten wir den Fall eines einzigen Gutes, sodass der Nutzen \(u=u(x)\) ist
Wie finden wir das beste Güterbündel ohne Budgetrestriktion?
Starten wir bei eine beliebigen Konsummenge \(x=k\). Wollen wir mehr oder weniger konsumieren?
Wenn der
zusätzlicheNutzen der nächsten Einheit größer als der Preis (gemessen in Nutzen) ist, wollen wir mehr! Wenn er niedriger ist, wollen wir den Konsum reduzieren.
Grenznutzen
Der Grenznutzen eines Gutes \(i\) (Marginal Utility), \[ \frac{\partial u(\boldsymbol{x})}{\partial x_i} \equiv MU_i(\boldsymbol{x}), \] ist der marginale Zusatznutzen, wenn man die Menge um eine infinitesimale Einheit erhöht.
Hinweise:
Typischerweise fällt der Grenznutzen eines Gutes, wenn man mehr konsumiert
Mit mehreren Gütern ist es komplizierter, aber der Grenznutzen wird dennoch eine zentrale Rolle spielen
Zentrales Konzept: Indifferenzkurven
Um das beste Güterbündel – und auch die Nachfrage – zu finden, werden wir ein sehr nützliches Konzept nutzen: Indifferenzkurven
- Sie sind Mengenscharen aller Güterbündel, die den gleichen Nutzenwert erzeugen; also solche, zwischen denen ein:e Konsument:in indifferent ist
\[ \{\boldsymbol{x}|u(\boldsymbol{x})=\bar{u}\} \]
- Ihre Form zeigt uns, wie gerne wir
substitutieren, also freiwillig von einem Gut weniger und von anderen mehr konsumieren würden
Indifferenzkurven im Zweigüterfall
#| standalone: true
#| viewerHeight: 600
library(shiny)
options(shiny.mathjax.url = "https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js")
library(ggplot2)
# Define UI
ui <- fluidPage(
br(),
withMathJax(),
sidebarLayout(
sidebarPanel(
h3("Nutzenmaximierung"),
tabsetPanel(
tabPanel("Hauptmenü", width = "400px",
br(),
p("\\(\\alpha\\) ist der Hauptparameter für die Nutzenfunktion. Unter \"Erweitert\" finden Sie weitere Optionen und können Budgetbeschränkungen umschalten."),
sliderInput(inputId = "alpha",
label = "Wähle \\(\\alpha\\)",
min = 0.01,
max = 0.99,
value = 0.5,
step = 0.01),
selectInput("utilityType",
"Wähle Nutzenfunktion:",
choices = c("Cobb-Douglas" = "cd",
"Perfekte Substitute" = "ps",
"Perfekte Komplemente" = "pc"
# ,
# "CES" = "ces"
)),
uiOutput('formula'),
checkboxInput("showBudgetLine",
"Zeige Budgetbeschränkung",
value = FALSE),
checkboxInput("showIndifferenceCurve",
"Zeige Indifferenzkurven",
value = FALSE)
),
tabPanel("Erweitert",
br(),
sliderInput("Px",
"Preis von Gut 1",
min = 1,
max = 5,
value = 4,
step = 0.1),
sliderInput("Py",
"Preis von Gut 2",
min = 1,
max = 5,
value = 2,
step = 0.1),
sliderInput("budget",
"Budget",
min = 100,
max = 300,
value = 200,
step = 1),
br(),
actionButton("reset", "Reset")
)
)
),
mainPanel(
align="center",
plotOutput(outputId = "utilityPlot", height = "550px", width = "600px"),
)
)
)
# Define server logic
server <- function(input, output) {
# Define utility functions
utility_function <- function(alpha, x, y, type) {
if (type == "cd") {
return(x^alpha * y^(1 - alpha))
}
if (type == "ps") {
return(alpha*x + (1-alpha)*y)
}
if (type == "pc") {
return(pmin(alpha*x, y))
}
# if (type == "ces") {
# rho = 0.5
# return((alpha*x^rho + (1-alpha)*y^rho)^(1/rho))
# }
}
# Find maximal utility
maximizeUtility <- function(budget, Px, Py, alpha, type) {
if (type == "cd") {
quantity_x <- (alpha * budget) / Px
quantity_y <- ((1 - alpha) * budget) / Py
max_utility <- utility_function(alpha, quantity_x, quantity_y, "cd")
} else if (type == "ps") {
utility_per_dollar_x <- alpha / Px
utility_per_dollar_y <- (1 - alpha) / Py
if (utility_per_dollar_x > utility_per_dollar_y) {
quantity_x <- budget / Px
quantity_y <- 0
} else {
quantity_x <- 0
quantity_y <- budget / Py
}
max_utility <- utility_function(alpha, quantity_x, quantity_y, "ps")
} else if (type == "pc") {
quantity_x <- budget / (Px + alpha * Py)
quantity_y <- alpha * (budget / (Px + alpha * Py))
max_utility <- utility_function(alpha, quantity_x, quantity_y, "pc")
}
# else if (type == "ces") {
# objective_function <- function(x) {
# y <- (budget - Px*x) / Py
# utility_function(alpha, x, y, "ces")
# }
# lower_bound <- 0
# upper_bound <- budget / Px
# optimization_result <- optimize(objective_function, interval = c(lower_bound, upper_bound), maximum = TRUE)
# quantity_x <- optimization_result$maximum
# quantity_y <- (budget - Px*quantity_x) / Py
# max_utility <- optimization_result$objective
# }
else {
stop("Unknown utility function type.")
}
return(list(max_utility = max_utility, quantity_x = quantity_x, quantity_y = quantity_y))
}
output$utilityPlot <- renderPlot({
alpha <- input$alpha
Px <- input$Px
Py <- input$Py
budget <- input$budget
type <- input$utilityType
showBudgetLine <- input$showBudgetLine
showIndifferenceCurve <- input$showIndifferenceCurve
maxutil_all <- maximizeUtility(budget, Px, Py, alpha, type)
maxutil <- maxutil_all$max_utility
quantity_x <- maxutil_all$quantity_x
quantity_y <- maxutil_all$quantity_y
x <- c(seq(1, 100, by = 2), seq(round(quantity_x*0.75, 1), round(quantity_x*1.25, 1), by = .1))
y <- c(seq(1, 100, by = 2), seq(round(quantity_y*0.75, 1), round(quantity_y*1.25, 1), by = .1))
grid <- expand.grid(x = x, y = y)
grid$utility <- utility_function(alpha, grid$x, grid$y, type)
if(showIndifferenceCurve) {
plot <- ggplot(grid, aes(x = x, y = y)) +
geom_contour(aes(z = utility), breaks = c(maxutil), color = "red") +
geom_contour(aes(z = utility), breaks = c(maxutil*0.8, maxutil*1.2), color = "red", linetype = "dashed") +
coord_cartesian(xlim = c(0, 100), ylim = c(0, 100)) +
theme_minimal()+
labs(x = expression(x[1]), y = expression(x[2])) +
theme(
axis.title.x = element_text(size = 20), # Adjust the font size of x-axis label
axis.title.y = element_text(size = 20) # Adjust the font size of y-axis label
)
} else if(showBudgetLine){
plot <- ggplot(grid, aes(x = x, y = y)) +
geom_abline(intercept = budget/Py, slope = -Px/Py, color = "blue") +
geom_blank() +
coord_cartesian(xlim = c(0, 100), ylim = c(0, 100)) +
theme_minimal()+
labs(x = expression(x[1]), y = expression(x[2])) +
theme(
axis.title.x = element_text(size = 20), # Adjust the font size of x-axis label
axis.title.y = element_text(size = 20) # Adjust the font size of y-axis label
)
} else {
plot <- ggplot(grid, aes(x = x, y = y)) +
coord_cartesian(xlim = c(0, 100), ylim = c(0, 100)) +
theme_minimal()+
labs(x = expression(x[1]), y = expression(x[2])) +
theme(
axis.title.x = element_text(size = 20), # Adjust the font size of x-axis label
axis.title.y = element_text(size = 20) # Adjust the font size of y-axis label
)
}
if(showBudgetLine && showIndifferenceCurve){
plot <- plot + geom_abline(intercept = budget/Py, slope = -Px/Py, color = "blue")+
annotate("segment", x = quantity_x, xend = quantity_x, y = 0, yend = quantity_y, linetype = "dashed")+
annotate("segment", x = 0, xend = quantity_x, y = quantity_y, yend = quantity_y, linetype = "dashed")+
annotate("label", x = quantity_x, y = 0, label = round(quantity_x, 2))+
annotate("label", x = 0, y = quantity_y, label = round(quantity_y, 2))+
geom_contour(aes(z = utility), breaks = c(maxutil), color = "red") +
geom_contour(aes(z = utility), breaks = c(maxutil*0.8, maxutil*1.2), color = "red", linetype = "dashed") +
coord_cartesian(xlim = c(0, 100), ylim = c(0, 100)) +
theme_minimal()+
labs(x = expression(x[1]), y = expression(x[2])) +
theme(
axis.title.x = element_text(size = 20), # Adjust the font size of x-axis label
axis.title.y = element_text(size = 20) # Adjust the font size of y-axis label
)
}
plot
})
observeEvent(input$reset, {
updateSliderInput(inputId = "alpha", value = 0.5)
updateCheckboxInput(inputId = "showBudgetLine", value = FALSE)
updateCheckboxInput(inputId = "showIndifferenceCurve", value = FALSE)
updateSliderInput(inputId = "Px", value = 4)
updateSliderInput(inputId = "Py", value = 2)
updateSliderInput(inputId = "budget", value = 200)
})
output$formula <- renderUI({
formula <- switch(input$utilityType,
"cd" = "$$U(x_1, x_2) = x_1^{\\alpha} x_2^{1-\\alpha}$$",
"ps" = "$$U(x_1, x_2) = \\alpha x_1 + (1-\\alpha) x_2$$",
"pc" = "$$U(x_1, x_2) = \\min(\\alpha x_1, x_2)$$",
#"ces" = "$$U(x, y) = (\\alpha x^{\\rho} + (1-\\alpha) y^{\\rho})^{\\frac{1}{\\rho}}$$",
"")
withMathJax("Formel: ", formula)
})
}
# Run the application
shinyApp(ui = ui, server = server)Steigung der Indifferenzkurve: die Grenzrate der Substitution
Um das beste Güterbündel – also die Nachfrage – zu finden, wollen wir die höchste Indifferenzkurve finden, auf der mind. ein Güterbündel in der Budgetmenge liegt
- Es wird also ein Tangenzialpunkt gesucht: Im Optimum ist die Steigung der Indifferenzkurve genauso groß wie die Steigung der Budgetgeraden!
Die Steigung der Indifferenzkurve wird als Grenzrate der Substitution bezeichnet (Marginal Rate of Substitution)
- Für ein beliebiges Nutzenniveau \(k\) und eine Nutzenfunktion für zwei Güter \(u(x_1,x_2)\):
\[
\mathrm{d} u(x_1,x_2) = \mathrm{d} k = 0 = \frac{\partial u}{\partial x_1} \mathrm{d} x_1 + \frac{\partial u}{\partial x_2} \mathrm{d} x_2 \Leftrightarrow
\]
\[ \frac{\mathrm{d} x_2}{\mathrm{d} x_1} = \underbrace{- \frac{\frac{\partial u}{\partial x_1}}{\frac{\partial u}{\partial x_2}}}_{\text{Grenzrate der Substitution}} \equiv - \frac{MU_1}{MU_2} \equiv MRS_{1,2} \]
Eigenschaften der MRS
Die MRS ist bei differenzierbaren Nutzenfunktionen negativ
- Wenn man von einem Gut mehr konsumiert, kann man ohne Nutzenverlust weniger von einem anderen konsumieren
Sie gibt den “Wechselkurs” an, zu der Konsument:innen bereit sind, Güter füreinander auszutauschen
Bei schwach konvexen Präferenzen fällt die MRS nicht; bei strikt konvexen Präferenzen steigt sie
D.h. \(|MRS|\) nimmt typischerweise schwach ab
Man muss also immer mehr von einem Gut aufgeben, um den Nutzen durch Konsum des anderen Gutes konstant zu halten
Individuelle Nachfrage
Überblick
In diesem Teil leiten wir uns die individuelle Nachfrage als Funktion des Budgets und der Güterpreise her
Zunächst mithilfe des Lagrange Ansatzes (also ein bisschen Analysis)
Anschließend bilden wir Intuition mithilfe der grafischen Lösung im Zweigüterfall
Im nächsten Schritt können wir dann über Konsument:innen aggregieren, um die Marktnachfrage zu erhalten
Der Lagrange Ansatz
- Das Problem ist, Güterbündel zu wählen, die den Nutzen unter Einhaltung der Budgetbedingung zu maximieren:
\[ \mathrm{max}_{\boldsymbol{x}} \ \ u(\boldsymbol{x}) \ \ \ \ \ \text{u.d.N.} \ \ \ \ \boldsymbol{x}'\boldsymbol{p} \leq m \]
- Wir verwenden die Lagrange-Methode mit Multiplikator \(\lambda\): \[ \mathrm{max}_{\boldsymbol{x},\lambda} \ \ \ \mathscr{L} = u(\boldsymbol{x}) + \lambda (m-\boldsymbol{x}'\boldsymbol{p}) \]
- Die notwendigen Bedingungen erster Ordnung geben uns ein Gleichungssystem, das wir für \(\boldsymbol{x}^*, \ \lambda^*\) lösen können
\[ \left. \frac{\partial u(.)}{\partial x_i} \right |_{\boldsymbol{x^*}} = MU_i|_{\boldsymbol{x^*}} = \lambda^* p_i \ \ \ \ \ \ \ \forall i \]
\[ m = \boldsymbol{x^*} \ ' \boldsymbol{p} \]
- Beachte: Im Zuge dieser Veranstaltung kennzeichnen wir alle optimalen Lösungen mit einem Asterisk \(*\)
Optimale Nachfrage
Dividieren wir die Bedingungen erster Ordnung für zwei Güter \(i\) und \(j\) durcheinander und multiplizieren mit \(-1\), erhalten wir einen richtig nützlichen Ausdruck: \[ \underbrace{ \left. -\frac{\frac{\partial u(.)}{\partial x_i}}{\frac{\partial u(.)}{\partial x_j}} \right |_{\boldsymbol{x^*}} = \left. - \frac{MU_i}{MU_j} \right |_{\boldsymbol{x^*}}}_{\text{Grenzrate der Substitution}} = \underbrace{-\frac{p_i}{p_j}}_{\text{Steigung der Budgetgeraden}} \]
Wie schon antizipiert, erfüllt das optimale Güterbündel die oben erwähnte Tangenzialbedingung von Indifferenzkurve und Budgetgerade
Weitere Intuition:
Nehmen wir an, dass für ein Güterbündel \(MRS(x_1',x_2')>p_1/p_2\): der relative Grenznutzen von Gut 1 ist somit hoch im Vergleich zum relativen Preis. Somit möchte man mehr von Gut 1 und weniger von Gut 2 konsumieren
Bei diesem sub-optimalen Güterbündel würde man also gerne auf das relativ teure Gut 2 verzichten und mehr vom relativ billigen Gut 1 konsumieren
Für Fortgeschrittene: \(\lambda\) ist der Grenznutzen des Einkommens bzw. sein Schattenpreis
Verifizieren Sie das bitte in der grafischen Analyse weiter unten.
Beispiel: Cobb-Douglas
Mit einer expliziten Nutzenfunktion können wir nun die individuelle Nachfrage ausrechnen:
- Nehmen wir Cobb-Douglas Präferenzen an, also
\[ u(x_1,x_2)=x_1^{\alpha}x_2^{1-\alpha} \ \ \ \ \ \text{mit} \ \alpha \in (0,1) \]
- Die beiden übrig gebliebenen Gleichungen sind also
\[ -\frac{\alpha}{1-\alpha} \frac{x_2^*}{x_1^*} = - \frac{p_1}{p_2} \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ x_2^* = \frac{1-\alpha}{\alpha} \frac{p_1}{p_2}x_1^* \] \[ m=x_1^*p_1 + x_2^*p_2 \]
- Sodass
\[ x_1^* \equiv x_1(p_1,p_2,m) = \frac{\alpha \ m}{p_1}, \ \ \ x_2^*\equiv x_2(p_1,p_2,m) = \frac{(1-\alpha) \ m}{p_2} \]
- Mit Cobb-Douglas Präferenzen gibt man also einen konstanten Teil \(\alpha\) für Gut 1 und den Rest für Gut 2 aus
- Nota bene: wir gehen ein paar Abkürzungen, aber Sie wissen sicher, wie Sie die Lagrange-Methode vollständig korrekt anwenden ;)
Grafische Lösung
#| standalone: true
#| viewerHeight: 600
library(shiny)
options(shiny.mathjax.url = "https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js")
library(ggplot2)
# Define UI
ui <- fluidPage(
br(),
withMathJax(),
sidebarLayout(
sidebarPanel(
h3("Nutzenmaximierung"),
tabsetPanel(
tabPanel("Hauptmenü", width = "400px",
br(),
p("\\(\\alpha\\) ist der Hauptparameter für die Nutzenfunktion. Unter \"Erweitert\" finden Sie weitere Optionen und können Budgetbeschränkungen umschalten."),
sliderInput(inputId = "alpha",
label = "Wähle \\(\\alpha\\)",
min = 0.01,
max = 0.99,
value = 0.5,
step = 0.01),
selectInput("utilityType",
"Wähle Nutzenfunktion:",
choices = c("Cobb-Douglas" = "cd",
"Perfekte Substitute" = "ps",
"Perfekte Komplemente" = "pc"
# ,
# "CES" = "ces"
)),
uiOutput('formula'),
checkboxInput("showBudgetLine",
"Zeige Budgetbeschränkung",
value = FALSE),
checkboxInput("showIndifferenceCurve",
"Zeige Indifferenzkurven",
value = FALSE)
),
tabPanel("Erweitert",
br(),
sliderInput("Px",
"Preis von Gut 1",
min = 1,
max = 5,
value = 4,
step = 0.1),
sliderInput("Py",
"Preis von Gut 2",
min = 1,
max = 5,
value = 2,
step = 0.1),
sliderInput("budget",
"Budget",
min = 100,
max = 300,
value = 200,
step = 1),
br(),
actionButton("reset", "Reset")
)
)
),
mainPanel(
align="center",
plotOutput(outputId = "utilityPlot", height = "550px", width = "600px"),
)
)
)
# Define server logic
server <- function(input, output) {
# Define utility functions
utility_function <- function(alpha, x, y, type) {
if (type == "cd") {
return(x^alpha * y^(1 - alpha))
}
if (type == "ps") {
return(alpha*x + (1-alpha)*y)
}
if (type == "pc") {
return(pmin(alpha*x, y))
}
# if (type == "ces") {
# rho = 0.5
# return((alpha*x^rho + (1-alpha)*y^rho)^(1/rho))
# }
}
# Find maximal utility
maximizeUtility <- function(budget, Px, Py, alpha, type) {
if (type == "cd") {
quantity_x <- (alpha * budget) / Px
quantity_y <- ((1 - alpha) * budget) / Py
max_utility <- utility_function(alpha, quantity_x, quantity_y, "cd")
} else if (type == "ps") {
utility_per_dollar_x <- alpha / Px
utility_per_dollar_y <- (1 - alpha) / Py
if (utility_per_dollar_x > utility_per_dollar_y) {
quantity_x <- budget / Px
quantity_y <- 0
} else {
quantity_x <- 0
quantity_y <- budget / Py
}
max_utility <- utility_function(alpha, quantity_x, quantity_y, "ps")
} else if (type == "pc") {
quantity_x <- budget / (Px + alpha * Py)
quantity_y <- alpha * (budget / (Px + alpha * Py))
max_utility <- utility_function(alpha, quantity_x, quantity_y, "pc")
}
# else if (type == "ces") {
# objective_function <- function(x) {
# y <- (budget - Px*x) / Py
# utility_function(alpha, x, y, "ces")
# }
# lower_bound <- 0
# upper_bound <- budget / Px
# optimization_result <- optimize(objective_function, interval = c(lower_bound, upper_bound), maximum = TRUE)
# quantity_x <- optimization_result$maximum
# quantity_y <- (budget - Px*quantity_x) / Py
# max_utility <- optimization_result$objective
# }
else {
stop("Unknown utility function type.")
}
return(list(max_utility = max_utility, quantity_x = quantity_x, quantity_y = quantity_y))
}
output$utilityPlot <- renderPlot({
alpha <- input$alpha
Px <- input$Px
Py <- input$Py
budget <- input$budget
type <- input$utilityType
showBudgetLine <- input$showBudgetLine
showIndifferenceCurve <- input$showIndifferenceCurve
maxutil_all <- maximizeUtility(budget, Px, Py, alpha, type)
maxutil <- maxutil_all$max_utility
quantity_x <- maxutil_all$quantity_x
quantity_y <- maxutil_all$quantity_y
x <- c(seq(1, 100, by = 2), seq(round(quantity_x*0.75, 1), round(quantity_x*1.25, 1), by = .1))
y <- c(seq(1, 100, by = 2), seq(round(quantity_y*0.75, 1), round(quantity_y*1.25, 1), by = .1))
grid <- expand.grid(x = x, y = y)
grid$utility <- utility_function(alpha, grid$x, grid$y, type)
if(showIndifferenceCurve) {
plot <- ggplot(grid, aes(x = x, y = y)) +
geom_contour(aes(z = utility), breaks = c(maxutil), color = "red") +
geom_contour(aes(z = utility), breaks = c(maxutil*0.8, maxutil*1.2), color = "red", linetype = "dashed") +
coord_cartesian(xlim = c(0, 100), ylim = c(0, 100)) +
theme_minimal()+
labs(x = expression(x[1]), y = expression(x[2])) +
theme(
axis.title.x = element_text(size = 20), # Adjust the font size of x-axis label
axis.title.y = element_text(size = 20) # Adjust the font size of y-axis label
)
} else if(showBudgetLine){
plot <- ggplot(grid, aes(x = x, y = y)) +
geom_abline(intercept = budget/Py, slope = -Px/Py, color = "blue") +
geom_blank() +
coord_cartesian(xlim = c(0, 100), ylim = c(0, 100)) +
theme_minimal()+
labs(x = expression(x[1]), y = expression(x[2])) +
theme(
axis.title.x = element_text(size = 20), # Adjust the font size of x-axis label
axis.title.y = element_text(size = 20) # Adjust the font size of y-axis label
)
} else {
plot <- ggplot(grid, aes(x = x, y = y)) +
coord_cartesian(xlim = c(0, 100), ylim = c(0, 100)) +
theme_minimal()+
labs(x = expression(x[1]), y = expression(x[2])) +
theme(
axis.title.x = element_text(size = 20), # Adjust the font size of x-axis label
axis.title.y = element_text(size = 20) # Adjust the font size of y-axis label
)
}
if(showBudgetLine && showIndifferenceCurve){
plot <- plot + geom_abline(intercept = budget/Py, slope = -Px/Py, color = "blue")+
annotate("segment", x = quantity_x, xend = quantity_x, y = 0, yend = quantity_y, linetype = "dashed")+
annotate("segment", x = 0, xend = quantity_x, y = quantity_y, yend = quantity_y, linetype = "dashed")+
annotate("label", x = quantity_x, y = 0, label = round(quantity_x, 2))+
annotate("label", x = 0, y = quantity_y, label = round(quantity_y, 2))+
geom_contour(aes(z = utility), breaks = c(maxutil), color = "red") +
geom_contour(aes(z = utility), breaks = c(maxutil*0.8, maxutil*1.2), color = "red", linetype = "dashed") +
coord_cartesian(xlim = c(0, 100), ylim = c(0, 100)) +
theme_minimal()+
labs(x = expression(x[1]), y = expression(x[2])) +
theme(
axis.title.x = element_text(size = 20), # Adjust the font size of x-axis label
axis.title.y = element_text(size = 20) # Adjust the font size of y-axis label
)
}
plot
})
observeEvent(input$reset, {
updateSliderInput(inputId = "alpha", value = 0.5)
updateCheckboxInput(inputId = "showBudgetLine", value = FALSE)
updateCheckboxInput(inputId = "showIndifferenceCurve", value = FALSE)
updateSliderInput(inputId = "Px", value = 4)
updateSliderInput(inputId = "Py", value = 2)
updateSliderInput(inputId = "budget", value = 200)
})
output$formula <- renderUI({
formula <- switch(input$utilityType,
"cd" = "$$U(x_1, x_2) = x_1^{\\alpha} x_2^{1-\\alpha}$$",
"ps" = "$$U(x_1, x_2) = \\alpha x_1 + (1-\\alpha) x_2$$",
"pc" = "$$U(x_1, x_2) = \\min(\\alpha x_1, x_2)$$",
#"ces" = "$$U(x, y) = (\\alpha x^{\\rho} + (1-\\alpha) y^{\\rho})^{\\frac{1}{\\rho}}$$",
"")
withMathJax("Formel: ", formula)
})
}
# Run the application
shinyApp(ui = ui, server = server)Eigenschaften der individuellen Nachfrage
Exploration: Veränderung des Einkommens
Teamarbeit: Gehen Sie zurück auf Folie 31 und spielen Sie mit dem Einkommensparameter herum
Wie verändern sich Budgetgerade und Indifferenzkurven?
Wie verändert sich das Nachfragebündel?
Wie sieht das ganze mit unterschiedlichen Präferenzen aus?
Einkommens-Expansionspfade, Engel-Kurven und Gütertypen
Viele Güter sind normal: bei höherem Budget wird mehr konsumiert
- Der
Einkommens-Expansionspfadim Zweigüterfall und dieEngel-Kurvehaben eine monoton positive Steigung (siehe nächste Folie)
Einige Güter sind (abschnittsweise) inferior: die Nachfrage reduziert sich bei höherem Budget
Dies betrifft vor allem Güter mit niedriger Qualität
Die Engel-Kurve fällt und der Einkommens-Expansionspfad ist “gewunden”
Steigt die Nachfrage schneller als das Budget (im Sinne einer Elastizität), spricht man von einem Luxusgut; steigt sie langsamer, ist es ein notwendiges Gut
Grafik: Einkommens-Expansionspfad und Engel-Kurve
Exploration: Veränderung der relativen Preise
Teamarbeit: Gehen Sie zurück auf Folie 31 und spielen Sie mit einem der Preise herum
Wie verändern sich Budgetgerade und Indifferenzkurven?
Wie verändert sich das Nachfragebündel?
Wie sieht es mit unterschiedlichen Präferenzen aus?
Anwendung: Butterpreise
Anwendung: Gebrauchtwagen
de.statista.com
Die Slutzky Zerlegung
Eine Preissteigerung hat immer zwei Effekte:
Substitutionseffekt: Andere Güter werden relativ billiger, sodass Konsumenten ‘wegsubstituieren’
- dieser Effekt wirkt immer in diese Richtung
Einkommenseffekt: Das Preisniveau steigt insgesamt an, sodass dasrealeBudget kleiner wird
- dieser Effekt kann, wie oben gesehen, den Konsum erhöhen oder senken
Mathematisch kann man leicht die Slutzky Identität herleiten
\[ \underbrace{\frac{\partial x_1(p_1, \ p_2, \bar{m})}{\partial p_1}}_{\text{Gesamteffekt (?)}} \equiv \underbrace{\frac{\partial x_1^S(p_1,\ p_2, \ \bar{x}_1,\bar{x}_2)}{\partial p_1}}_{\text{Substitutionseffekt (-)}} - \underbrace{\frac{\partial x_1(p_1, \ p_2, \bar{m})}{\partial m} \bar{x}_1 }_{\text{Einkommenseffekt (?)}}, \]
- \(x_i^S\): Nachfrage nach Gut \(i\) wenn das Budget ausgeglichen wird, also bei \(\bar{m}\equiv p_1 \bar{x}_1 + p_2 \bar{x}_2\)
Giffen Güter
Könnte es sein, dass ein Gut stärker nachgefragt wird, wenn sein Preis steigt?
Haben Sie Beispiele?
Slutzky zeigt uns: Prinzipiell kann der Einkommenseffekt so stark sein, dass er den Substitutionseffekt überkompensiert; solche Güter heißen Giffen Güter
Empirische Evidenz
Jensen/Miller (2008): Reis und Fleisch Konsum extrem armer Menschen
Feldexperiment in der Provinz Hunan: randomisierte Zuteilung von Gutscheinen für Reis an Haushalte
Reiskonsum fiel, insbesondere in Hauhalten mit einem “mittelhohen” Einkommen
Substitute und Komplemente
Bei den Präferenzen haben wir bereits informell von perfekten Substituten und Komplementen gesprochen, dies aber nicht definiert
Gut \(i\) ist ein Substitut (Komplement) für Gut \(j\neq i\), wenn \(\partial x_i(\boldsymbol{p},m)/\partial p_j > 0\) \((<0)\)
Bei vielen Gütern ist dies eine Matrix mit vielen indirekten Effekten, aber wir beschränken uns auf Brutto-Substitute und -Komplemente
Beispiel: Im Fall der Cobb-Douglas Nachfrage sind Güter weder das eine, noch das andere
\[ x_i(p_i) = \frac{\alpha_i \ m}{p_i} \]
Die Marktnachfrage
Die inverse individuelle Nachfrage
Um zur Marktnachfrage zu gelangen, die wir einem Angebot gegenüberstellen können, verändern wir den Preis eines Gutes ceteris paribus und ermitteln zunächst die individuelle Nachfrage
Bei normalen Gütern fällt diese Funktion, wie Sie bei Ihren Explorationen bereits feststellen konnten
Die Marktnachfrage von \(n\) Konsument:innen ergibt sich als die Summe aller individuellen Nachfragen:
\[ X_i(\boldsymbol{p},\boldsymbol{m}) \equiv \sum_{c=1}^{n} x_i^c(\boldsymbol{p},m^c) \]
Wenn die Präferenzen aller Konsument:innen bestimmte Bedingungen erfüllen, können wir vernachlässigen, dass die Marktnachfrage von der Verteilung der Einkommen abhängt
- dann sprechen wir von einem
repräsentativen Konsumentenmit Budget \(M=\sum m^c\), der sich wie die Gesamtheit der Konsumenten verhält
Grafik: Die inverse Marktnachfragefunktion
#| standalone: true
#| viewerHeight: 600
library(shiny)
library(shinydashboard)
library(ggplot2)
library(graphics)
library(ggpattern)
library(dplyr)
library(purrr)
library(bslib)
library(bs4Dash)
ui <- fluidPage(
sidebarLayout(
sidebarPanel(
tabsetPanel(
tabPanel(h5("Einstellungen"),
br(),
checkboxInput("supp", "Inverses Angebot anzeigen", value = FALSE),
checkboxInput("dem", "Inverse Nachfrage anzeigen", value = FALSE),
sliderInput("slope_s", "Steigung Angebot", min = 0, max = 10, value = 1, step = 0.5),
sliderInput("slope_d", "Steigung Nachfrage", min = -10, max = 0, value = -1, step = 0.5),
numericInput("absch_d", "Achsenabschnitt Nachfrage", min = 0, max = 100, value = 75),
actionButton("reset", "Reset")
),
tabPanel(h5("Wohlfahrt"),
checkboxInput("cs", "Konsumentenrente anzeigen", value = FALSE),
checkboxInput("ps", "Produzentenrente anzeigen", value = FALSE),
br(),
uiOutput('kons_r')
),
tabPanel(h5("Steuern"),
sliderInput("tax", "Steuerrate t", min = -30, max = 30, value = 0, step = 1),
br(),
uiOutput("steu_totg")
)
)
),
mainPanel(align = "center",
plotOutput(outputId = "ggwplot", height = "500px", width = "600px"),
),
)
)
server <- function(input, output, session) {
angebot <- function(a_s, x) {
# p_s <- (x - 5)/a_s
p_s <- a_s * x + 5
return(p_s)
}
nachfrage <- function(a_d, b_d, x){
# p_d <- (x - b_d)/a_d
p_d <- a_d * x + b_d
return(p_d)
}
opt <- function(a_s, a_d, b_d) {
# p_opt <- (b_d - 5) / (a_s - a_d)
# x_opt <- a_d * p_opt + b_d
x_opt <- (b_d - 5) / (a_s - a_d)
p_opt <- a_d * x_opt + b_d
return(list(p_opt = p_opt, x_opt = x_opt))
}
observeEvent(list(input$tax, input$cs, input$ps, input$supp, input$dem, input$slope_d, input$slope_s, input$absch_d), {
a_s <- input$slope_s
a_d <- input$slope_d
b_d <- input$absch_d
cs <- input$cs
ps <- input$ps
x_v <- seq(0, 100, by = 0.5)
p_s <- angebot(a_s, x_v)
p_d <- nachfrage(a_d, b_d, x_v)
t <- input$tax
if (t != 0) {
grid <- tibble(
x_val = x_v,
S = p_s + t,
D = p_d
)
Ergebnisse <- opt(a_s, a_d, b_d)
#p_s_opt <- (Ergebnisse$p_opt + (t*a_d)/(a_s-a_d))
# p_d_opt <- (Ergebnisse$p_opt + (t*a_s)/(a_s-a_d))
p_s_opt <- (((t - b_d)/a_d)+(5/a_s))/((1/a_s)-(1/a_d))
p_d_opt <- p_s_opt + t
x_t <- (p_s_opt - 5)/a_s
# p_opt <- (b_d-5)/(a_s-a_d)
# x_opt <- a_s * p_opt + 5
x_opt <- (b_d - 5) / (a_s - a_d)
p_opt <- a_d * x_opt + b_d
}
else {
grid <- tibble(
x_val = x_v,
S = p_s,
D = p_d
)
Ergebnisse <- opt(a_s, a_d, b_d)
p_opt <- Ergebnisse$p_opt
x_opt <- Ergebnisse$x_opt
}
output$ggwplot <- renderPlot({
if (input$dem == TRUE && input$supp == TRUE) {
g_plot <- ggplot(grid) +
geom_line(aes(x = x_val, y = D, color = "Nachfrage"), size = 1.3) +
geom_line(aes(x = x_val, y = S, color = "Angebot"), size = ifelse(t != 0, 1, 1.3), linetype = ifelse(t != 0, "dashed", "solid")) +
scale_color_manual(values = c("Angebot" = "blue", "Nachfrage" = "red")) +
guides(color = guide_legend(title = "Kurven", position = "bottom", title.position = "left", title.hjust = 0.5)) +
coord_cartesian(xlim = c(-10, 100), ylim = c(-5, 100)) +
theme_minimal() +
labs(x = "Menge y", y = "Preis p") +
theme(
axis.text = element_text(size = 14),
axis.title = element_text(size = 16),
plot.title = element_text(size = 20),
legend.position = c(0.9, 0.9), # position -> legend
legend.justification = c(0.5, 0.5), # Top right corner
legend.background = element_rect(fill = "white", color = "black"),
legend.key = element_rect(fill = "white", color = "white")
)
} else if (input$dem == TRUE && input$supp == FALSE) {
g_plot <- ggplot(grid) +
geom_line(aes(x = x_val, y = D, color = "Nachfrage"), size = 1.3) +
scale_color_manual(values = c("Nachfrage" = "red")) +
guides(color = guide_legend(title = "Kurven", position = "bottom", title.position = "left", title.hjust = 0.5)) +
coord_cartesian(xlim = c(-10, 100), ylim = c(-5, 100)) +
theme_minimal() +
labs(x = "Menge y", y = "Preis p") +
theme(
axis.text = element_text(size = 14),
axis.title = element_text(size = 16),
plot.title = element_text(size = 20),
legend.position = c(0.9, 0.9), # Adjust this as necessary to position the legend
legend.justification = c(0.5, 0.5), # Top right corner
legend.background = element_rect(fill = "white", color = "black"),
legend.key = element_rect(fill = "white", color = "white")
)
} else if (input$dem == FALSE && input$supp == TRUE ) {
g_plot <- ggplot(grid) +
geom_line(aes(x = x_val, y = S, color = "Angebot"), size = ifelse(t != 0, 1, 1.3), linetype = ifelse(t != 0, "dashed", "solid")) +
scale_color_manual(values = c("Angebot" = "blue")) +
guides(color = guide_legend(title = "Kurven", position = "bottom", title.position = "left", title.hjust = 0.5)) +
coord_cartesian(xlim = c(-10, 100), ylim = c(-5, 100)) +
theme_minimal() +
labs(x = "Menge y", y = "Preis p") +
theme(
axis.text = element_text(size = 14),
axis.title = element_text(size = 16),
plot.title = element_text(size = 20),
legend.position = c(0.9, 0.9), # Adjust this as necessary to position the legend
legend.justification = c(0.5, 0.5), # Top right corner
legend.background = element_rect(fill = "white", color = "black"),
legend.key = element_rect(fill = "white", color = "white")
)
} else {
g_plot <- ggplot(grid) +
geom_line(aes(x = x_val, y = D), color = "white", size = 0.1) +
coord_cartesian(xlim = c(-5, 100), ylim = c(-5, 100)) +
theme_minimal() +
labs(x = "Menge y", y = "Preis p") +
theme(
axis.text = element_text(size = 14),
axis.title = element_text(size = 16),
plot.title = element_text(size = 20),
legend.position = c(0.9, 0.9), # Adjust this as necessary to position the legend
legend.justification = c(0.5, 0.5), # Top right corner
legend.background = element_rect(fill = "white", color = "black"),
legend.key = element_rect(fill = "white", color = "white")
)
}
if (input$dem && !is.null(p_opt) && cs == TRUE && t == 0) {
g_plot <- g_plot +
geom_ribbon_pattern(data = grid %>% filter(x_val <= x_opt),
aes(x = x_val, ymin = p_opt, ymax = D, fill = "Konsumentenrente"),
# fill = "#FF9999",
pattern = "stripe",
pattern_fill = "red",
pattern_angle = 45,
pattern_density = 0.3,
pattern_spacing = 0.01,
alpha = 0.3)
# annotate("Text", x = -5, y = p_opt + 15, label = "KR", color = "red", size = 7)
} else if (input$dem && !is.null(p_opt) && cs == TRUE && t != 0) {
g_plot <- g_plot +
geom_ribbon_pattern(data = grid %>% filter(x_val <= x_t),
aes(x = x_val, ymin = p_d_opt, ymax = D, fill = "Konsumentenrente" ),
# fill = "#FF9999",
pattern = "stripe",
pattern_fill = "red",
pattern_angle = 45,
pattern_density = 0.3,
pattern_spacing = 0.01,
alpha = 0.3)
}
if (input$supp && !is.null(p_opt) && input$ps && t == 0) {
g_plot <- g_plot +
geom_ribbon_pattern(data = grid %>% filter(x_val <= x_opt),
aes(x = x_val, ymin = S, ymax = p_opt, fill = "Produzentenrente"),
# fill = "#ADD8E6",
pattern = "stripe",
pattern_fill = "blue",
pattern_angle = 135,
pattern_density = 0.3,
pattern_spacing = 0.01,
alpha = 0.3)
# annotate("text", x = -5, y = p_opt - 15, label = "PS", color = "blue", size = 7)
} else if (input$supp && !is.null(p_opt) && input$ps && t != 0) {
g_plot <- g_plot +
geom_ribbon_pattern(data = grid %>% filter(x_val <= x_t),
aes(x = x_val, ymin = S - t, ymax = p_s_opt, fill = "Produzentenrente"),
# fill = "#ADD8E6",
pattern = "stripe",
pattern_fill = "blue",
pattern_angle = 135,
pattern_density = 0.3,
pattern_spacing = 0.01,
alpha = 0.3)
}
if (input$supp && !is.null(p_opt) && t > 0) {
g_plot <- g_plot +
geom_ribbon(data = grid %>% filter(x_val <= x_t),
aes(x = x_val, ymin = p_s_opt, ymax = p_opt, fill = "Steuererträge"),
# fill = "grey",
alpha = 1) +
geom_ribbon(data = grid %>% filter(x_val <= x_t),
aes(x = x_val, ymin = p_opt, ymax = p_d_opt, fill = "Steuererträge"),
# fill = "grey",
alpha = 1) +
geom_ribbon(data = grid %>% filter(x_val >= x_t & x_val <= x_opt),
aes(x = x_val, ymin = S - t, ymax = D, fill = "Wohlfahrtsverlust"),
# fill = "black",
alpha = 1)
# annotate("text", x = -5, y = p_opt - 15, label = "PS", color = "blue", size = 7)
}
if (t != 0) {
g_plot <- g_plot +
geom_line(aes(x = x_val, y = S - t, color = "Angebot"), size = 1.3, linetype = "solid")
}
label1 <- bquote(p[d] ~ "≈")
label2 <- bquote(p[s] ~ "≈")
label3 <- bquote(x[t] ~ "≈")
if (t != 0) {
g_plot <- g_plot +
geom_segment(aes(x = x_t, xend = x_t, y = -5, yend = p_d_opt), color = "violet", linetype = "longdash", size = 0.7) +
geom_segment(aes(x = 0, xend = x_t, y = p_d_opt, yend = p_d_opt), color = "violet", linetype = "longdash", size = 0.7) +
geom_segment(aes(x = 0, xend = x_t, y = p_s_opt, yend = p_s_opt), color = "violet", linetype = "longdash", size = 0.7) +
annotate("text", x = x_t, y = -5, label = as.expression(bquote(.(label3) ~ .(round(x_t)))), vjust = 1, hjust = 1, color = "violet", size = 5) +
annotate("text", x = 0, y = p_d_opt, label = as.expression(bquote(.(label1) ~ .(round(p_d_opt)))), vjust = 0.5, hjust = 1, color = "violet", size = 5) +
annotate("text", x = 0, y = p_s_opt, label = as.expression(bquote(.(label2) ~ .(round(p_s_opt)))), vjust = 0.5, hjust = 1, color = "violet", size = 5)
}
if ( t < 0) {
g_plot <- g_plot +
geom_segment(aes(x = x_t, xend = x_t, y = -5, yend = p_s_opt), color = "violet", linetype = "longdash", size = 0.7)
}
if (input$dem == TRUE && input$supp == TRUE) {
g_plot <- g_plot +
geom_segment(aes(x = x_opt, xend = x_opt, y = 0, yend = p_opt), color = "orange", linetype = "longdash", size = 0.7) +
geom_segment(aes(x = 0, xend = x_opt, y = p_opt, yend = p_opt), color = "orange", linetype = "longdash", size = 0.7) +
annotate("text", x = x_opt, y = 0, label = paste("x* ≈ ", round(x_opt)), vjust = 1, hjust = 0.5, color = "orange", size = 5) +
annotate("text", x = 0, y = p_opt, label = paste("p* ≈ ", round(p_opt)), vjust = 0.5, hjust = 1, color = "orange", size = 5)
}
g_plot <- g_plot +
scale_color_manual(
values = c("Angebot" = "blue", "Nachfrage" = "red"),
name = "Kurven"
) +
scale_fill_manual(
values = c("Konsumentenrente" = "#FF9999", "Produzentenrente" = "#ADD8E6", "Steuererträge" = "grey", "Wohlfahrtsverlust" = "black"), name = "") +
guides(color = guide_legend(title = "Geraden", position = "bottom", title.position = "left", title.hjust = 1))
print(g_plot)
})
})
observeEvent(input$reset, {
updateSliderInput(inputId = "slope_d", value = -1)
updateSliderInput(inputId = "slope_s", value = 1)
updateSliderInput(inputId = "tax", value = 0)
updateNumericInput(inputId = "absch_d", value = 75)
updateCheckboxInput(inputId = "cs", value = FALSE)
updateCheckboxInput(inputId = "ps", value = FALSE)
})
kons_r <- reactiveVal(0)
prod_r <- reactiveVal(0)
observeEvent(list(input$cs, input$ps, input$supp, input$tax, input$dem, input$slope_d, input$slope_s, input$absch_d), {
a_s <- input$slope_s
a_d <- input$slope_d
b_d <- input$absch_d
Ergebnisse <- opt(a_s, a_d, b_d)
p_opt <- Ergebnisse$p_opt
x_opt <- Ergebnisse$x_opt
t <- input$tax
p_s_opt <- (((t - b_d)/a_d)+(5/a_s))/((1/a_s)-(1/a_d))
p_d_opt <- p_s_opt + t
x_t <- (p_s_opt - 5)/a_s
if (input$cs == TRUE && input$supp == TRUE && input$dem == TRUE && t == 0) {
kons_r(((b_d-p_opt) * x_opt) / 2)
} else if (input$cs == TRUE && input$supp == TRUE && input$dem == TRUE && t != 0) {
kons_r(((b_d-p_d_opt) * x_t) / 2)
} else {
kons_r(0)
}
if (input$ps == TRUE && input$supp == TRUE && input$dem == TRUE && t == 0) {
prod_r((p_opt * x_opt) / 2)
} else if (input$cs == TRUE && input$supp == TRUE && input$dem == TRUE && t != 0) {
prod_r((p_s_opt * x_t) / 2)
} else {
prod_r(0)
}
})
output$kons_r <- renderUI({
kons_r_r <- round(kons_r(), digits = 2)
prod_r_r <- round(prod_r(), digits = 2)
withMathJax(HTML(paste("Konsumentenrente:", kons_r_r, "<br>",
"Produzentenrente:", prod_r_r))
)
})
steu_ber <- reactiveVal(0)
totg_ber <- reactiveVal(0)
observeEvent(list(input$cs, input$ps, input$supp, input$tax, input$dem, input$slope_d, input$slope_s, input$absch_d), {
a_s <- input$slope_s
a_d <- input$slope_d
b_d <- input$absch_d
Ergebnisse <- opt(a_s, a_d, b_d)
p_opt <- Ergebnisse$p_opt
x_opt <- Ergebnisse$x_opt
t <- input$tax
p_s_opt <- (((t - b_d)/a_d)+(5/a_s))/((1/a_s)-(1/a_d))
p_d_opt <- p_s_opt + t
x_t <- (p_s_opt - 5)/a_s
if (input$supp == TRUE && input$dem == TRUE && t > 0) {
steu_ber(-1 * (x_t*(p_d_opt-p_s_opt)))
totg_ber((p_opt-p_s_opt)*(x_opt-x_t)/2 + (p_d_opt-p_opt)*(x_opt-x_t)/2 )
}
if (input$supp == TRUE && input$dem == TRUE && t < 0) {
steu_ber(x_t*(p_s_opt-p_d_opt))
totg_ber((p_s_opt-p_opt)*(x_t-x_opt)/2 + (p_opt-p_d_opt)*(x_t-x_opt)/2 )
}
})
output$steu_totg <- renderUI({
steu <- round(steu_ber(), digits = 2)
totg <- round(totg_ber(), digits = 2)
withMathJax(HTML(paste("Steuereinnahmen:", -steu, "<br>",
"Wohlfahrtsverlust:", totg))
)
})
}
shinyApp(ui = ui, server = server)Zum Abschluss: Einige nützliche Konzepte
Die Eigenschaften der Nachfragefunktion spielen eine zentrale Rolle in der VWL
Preissetzung von Unternehmen
Marktreaktionen auf Steuern, Subventionen, Friktionen oder Schocks
Wohlfahrtseffekte
Um das besser zu verstehen, brauchen wir ein paar wichtige Konzepte
Preiselastizität
Einkommenselastizität
Konsumentenrente
Die Preiselastizität der Marktnachfrage
Oft sprechen wir aus verschiedenen Gründen von preiselastischer oder preisUNelastischer Nachfrage
- Unternehmen messen bspw. ihre Marktmacht daran, wie sensitiv ihre Kunden auf Preiserhöhungen reagieren und setzen dementsprechend höhere oder niedrigere Preise
- Elastizitäten geben an, wie sich eine Größe prozentual verändert, wenn wir eine andere prozentual erhöhen
- in unserem Fall ist die
Preiselastizitätder Nachfrage nach Gut 1
\[ \varepsilon_{X_1,p_1} \equiv \frac{\frac{\partial X_1(p_1)}{X_1(p_1)}*100}{\frac{\partial p_1}{p_1}*100} = \frac{\partial X_1(p_1)}{\partial p_1} \frac{p_1}{X_1(p_1)} \]
Teamarbeit: Gehen Sie zurück auf Folie 44 und verändern Sie die Nachfrageparamater so, dass die Nachfrage elastischer wird!
Beispiel: Nachfrage mit konstanter Preiselastizität
Nehmen wir Cobb-Douglas Präferenzen mit Nachfragefunktion
\[ x_i = \frac{\alpha_i \ m}{p_i} \]
Dann ist die Preiselastizität
\[ \varepsilon_{X_i,p_i} = \frac{\partial x_i(p_i)}{\partial p_i} \frac{p_i}{x_i(p_i)} = \frac{-\alpha_i \ m}{p_i^2} \frac{p_i^2}{\alpha_i \ m} = -1 \]
Cobb-Douglas Präferenzen erzeugen Constant Elasticity of Substitution (CES) Nachfrage
Konsument:innen reduzieren ihre Nachfrage immer um ein Prozent, wenn der Preis um ein Prozent steigt
CES Präferenzen werden extrem häufig eingesetzt, da sie sehr angenehme Eigenschaften haben
Die Einkommenselastizität
Analog können wir die Einkommenselastizität von Gütern definieren:
\[ \varepsilon_{x_i,m} \equiv \frac{\partial x_i(p_i,m)}{\partial m} \frac{m}{x_i(p_i,m)} \]
Mithilfe dieser Elastizität können wir Güter nun formal kategorisieren
- Normal: \(\varepsilon_{x_i,m}>0\)
- Inferior: \(\varepsilon_{x_i,m}<0\)
- Luxus: \(\varepsilon_{x_i,m}>1\)
- Notwendige Güter: \(0<\varepsilon_{x_i,m}<1\)
Beispiel: Nachfrage mit konstanter Einkommenselastizität
Wiederum mit Cobb-Dougles Präferenzen und Nachfragefunktion
\[ x_i = \frac{\alpha_i \ m}{p_i} \]
haben wir
\[ \varepsilon_{x_i,m} = \frac{\alpha_i}{p_i} \frac{m}{\frac{\alpha_i \ m}{p_i}} = 1 \]
Jede Einkommenserhöhung um ein Prozent erhöht die Nachfrage nach jedem Gut um ein Prozent
Die Engel-Kurve ist eine Gerade mit Steigung \(\alpha_i/p_i\)
Diese Präferenzen sind daher
homothetisch: die relativen Nachfragen sind unabhängig vom Einkommen
Die Konsumentenrente
Die inverse Marktnachfrage gibt an, welchen Preis Konsument:innen maximal bereit sind zu zahlen, wenn sie eine bestimmte Menge erwerben wollen – diesen Preis nennt man Reservations- oder Vorbehaltspreis
- er korrespondiert mit einem bestimmten Nutzenniveau
Der gezahlte Preis entspricht einem bestimmten Nutzenverlust, da andere Güter mit dem verausgabten Geld nicht mehr erworben werden können
Die Konsumentenrente, ein Maß für die Wohlfahrt der Konsumentenseite, kann also über die Differenz zwischen inverser Nachfrage und dem Preis ermittelt werden
- steigt der Preis, fallen manche Konsumenten aus dem Markt und die Verbliebenen erfahren Nutzeneinbußen
Dieses zentrale Konzept werden wir für die Analyse von Steuern, aber auch von Marktversagen brauchen!
Grafik: Die Konsumentenrente
#| standalone: true
#| viewerHeight: 600
library(shiny)
library(shinydashboard)
library(ggplot2)
library(graphics)
library(ggpattern)
library(dplyr)
library(purrr)
library(bslib)
library(bs4Dash)
ui <- fluidPage(
sidebarLayout(
sidebarPanel(
tabsetPanel(
tabPanel(h5("Einstellungen"),
br(),
checkboxInput("supp", "Inverses Angebot anzeigen", value = FALSE),
checkboxInput("dem", "Inverse Nachfrage anzeigen", value = FALSE),
sliderInput("slope_s", "Steigung Angebot", min = 0, max = 10, value = 1, step = 0.5),
sliderInput("slope_d", "Steigung Nachfrage", min = -10, max = 0, value = -1, step = 0.5),
numericInput("absch_d", "Achsenabschnitt Nachfrage", min = 0, max = 100, value = 75),
actionButton("reset", "Reset")
),
tabPanel(h5("Wohlfahrt"),
checkboxInput("cs", "Konsumentenrente anzeigen", value = FALSE),
checkboxInput("ps", "Produzentenrente anzeigen", value = FALSE),
br(),
uiOutput('kons_r')
),
tabPanel(h5("Steuern"),
sliderInput("tax", "Steuerrate t", min = -30, max = 30, value = 0, step = 1),
br(),
uiOutput("steu_totg")
)
)
),
mainPanel(align = "center",
plotOutput(outputId = "ggwplot", height = "500px", width = "600px"),
),
)
)
server <- function(input, output, session) {
angebot <- function(a_s, x) {
# p_s <- (x - 5)/a_s
p_s <- a_s * x + 5
return(p_s)
}
nachfrage <- function(a_d, b_d, x){
# p_d <- (x - b_d)/a_d
p_d <- a_d * x + b_d
return(p_d)
}
opt <- function(a_s, a_d, b_d) {
# p_opt <- (b_d - 5) / (a_s - a_d)
# x_opt <- a_d * p_opt + b_d
x_opt <- (b_d - 5) / (a_s - a_d)
p_opt <- a_d * x_opt + b_d
return(list(p_opt = p_opt, x_opt = x_opt))
}
observeEvent(list(input$tax, input$cs, input$ps, input$supp, input$dem, input$slope_d, input$slope_s, input$absch_d), {
a_s <- input$slope_s
a_d <- input$slope_d
b_d <- input$absch_d
cs <- input$cs
ps <- input$ps
x_v <- seq(0, 100, by = 0.5)
p_s <- angebot(a_s, x_v)
p_d <- nachfrage(a_d, b_d, x_v)
t <- input$tax
if (t != 0) {
grid <- tibble(
x_val = x_v,
S = p_s + t,
D = p_d
)
Ergebnisse <- opt(a_s, a_d, b_d)
#p_s_opt <- (Ergebnisse$p_opt + (t*a_d)/(a_s-a_d))
# p_d_opt <- (Ergebnisse$p_opt + (t*a_s)/(a_s-a_d))
p_s_opt <- (((t - b_d)/a_d)+(5/a_s))/((1/a_s)-(1/a_d))
p_d_opt <- p_s_opt + t
x_t <- (p_s_opt - 5)/a_s
# p_opt <- (b_d-5)/(a_s-a_d)
# x_opt <- a_s * p_opt + 5
x_opt <- (b_d - 5) / (a_s - a_d)
p_opt <- a_d * x_opt + b_d
}
else {
grid <- tibble(
x_val = x_v,
S = p_s,
D = p_d
)
Ergebnisse <- opt(a_s, a_d, b_d)
p_opt <- Ergebnisse$p_opt
x_opt <- Ergebnisse$x_opt
}
output$ggwplot <- renderPlot({
if (input$dem == TRUE && input$supp == TRUE) {
g_plot <- ggplot(grid) +
geom_line(aes(x = x_val, y = D, color = "Nachfrage"), size = 1.3) +
geom_line(aes(x = x_val, y = S, color = "Angebot"), size = ifelse(t != 0, 1, 1.3), linetype = ifelse(t != 0, "dashed", "solid")) +
scale_color_manual(values = c("Angebot" = "blue", "Nachfrage" = "red")) +
guides(color = guide_legend(title = "Kurven", position = "bottom", title.position = "left", title.hjust = 0.5)) +
coord_cartesian(xlim = c(-10, 100), ylim = c(-5, 100)) +
theme_minimal() +
labs(x = "Menge y", y = "Preis p") +
theme(
axis.text = element_text(size = 14),
axis.title = element_text(size = 16),
plot.title = element_text(size = 20),
legend.position = c(0.9, 0.9), # position -> legend
legend.justification = c(0.5, 0.5), # Top right corner
legend.background = element_rect(fill = "white", color = "black"),
legend.key = element_rect(fill = "white", color = "white")
)
} else if (input$dem == TRUE && input$supp == FALSE) {
g_plot <- ggplot(grid) +
geom_line(aes(x = x_val, y = D, color = "Nachfrage"), size = 1.3) +
scale_color_manual(values = c("Nachfrage" = "red")) +
guides(color = guide_legend(title = "Kurven", position = "bottom", title.position = "left", title.hjust = 0.5)) +
coord_cartesian(xlim = c(-10, 100), ylim = c(-5, 100)) +
theme_minimal() +
labs(x = "Menge y", y = "Preis p") +
theme(
axis.text = element_text(size = 14),
axis.title = element_text(size = 16),
plot.title = element_text(size = 20),
legend.position = c(0.9, 0.9), # Adjust this as necessary to position the legend
legend.justification = c(0.5, 0.5), # Top right corner
legend.background = element_rect(fill = "white", color = "black"),
legend.key = element_rect(fill = "white", color = "white")
)
} else if (input$dem == FALSE && input$supp == TRUE ) {
g_plot <- ggplot(grid) +
geom_line(aes(x = x_val, y = S, color = "Angebot"), size = ifelse(t != 0, 1, 1.3), linetype = ifelse(t != 0, "dashed", "solid")) +
scale_color_manual(values = c("Angebot" = "blue")) +
guides(color = guide_legend(title = "Kurven", position = "bottom", title.position = "left", title.hjust = 0.5)) +
coord_cartesian(xlim = c(-10, 100), ylim = c(-5, 100)) +
theme_minimal() +
labs(x = "Menge y", y = "Preis p") +
theme(
axis.text = element_text(size = 14),
axis.title = element_text(size = 16),
plot.title = element_text(size = 20),
legend.position = c(0.9, 0.9), # Adjust this as necessary to position the legend
legend.justification = c(0.5, 0.5), # Top right corner
legend.background = element_rect(fill = "white", color = "black"),
legend.key = element_rect(fill = "white", color = "white")
)
} else {
g_plot <- ggplot(grid) +
geom_line(aes(x = x_val, y = D), color = "white", size = 0.1) +
coord_cartesian(xlim = c(-5, 100), ylim = c(-5, 100)) +
theme_minimal() +
labs(x = "Menge y", y = "Preis p") +
theme(
axis.text = element_text(size = 14),
axis.title = element_text(size = 16),
plot.title = element_text(size = 20),
legend.position = c(0.9, 0.9), # Adjust this as necessary to position the legend
legend.justification = c(0.5, 0.5), # Top right corner
legend.background = element_rect(fill = "white", color = "black"),
legend.key = element_rect(fill = "white", color = "white")
)
}
if (input$dem && !is.null(p_opt) && cs == TRUE && t == 0) {
g_plot <- g_plot +
geom_ribbon_pattern(data = grid %>% filter(x_val <= x_opt),
aes(x = x_val, ymin = p_opt, ymax = D, fill = "Konsumentenrente"),
# fill = "#FF9999",
pattern = "stripe",
pattern_fill = "red",
pattern_angle = 45,
pattern_density = 0.3,
pattern_spacing = 0.01,
alpha = 0.3)
# annotate("Text", x = -5, y = p_opt + 15, label = "KR", color = "red", size = 7)
} else if (input$dem && !is.null(p_opt) && cs == TRUE && t != 0) {
g_plot <- g_plot +
geom_ribbon_pattern(data = grid %>% filter(x_val <= x_t),
aes(x = x_val, ymin = p_d_opt, ymax = D, fill = "Konsumentenrente" ),
# fill = "#FF9999",
pattern = "stripe",
pattern_fill = "red",
pattern_angle = 45,
pattern_density = 0.3,
pattern_spacing = 0.01,
alpha = 0.3)
}
if (input$supp && !is.null(p_opt) && input$ps && t == 0) {
g_plot <- g_plot +
geom_ribbon_pattern(data = grid %>% filter(x_val <= x_opt),
aes(x = x_val, ymin = S, ymax = p_opt, fill = "Produzentenrente"),
# fill = "#ADD8E6",
pattern = "stripe",
pattern_fill = "blue",
pattern_angle = 135,
pattern_density = 0.3,
pattern_spacing = 0.01,
alpha = 0.3)
# annotate("text", x = -5, y = p_opt - 15, label = "PS", color = "blue", size = 7)
} else if (input$supp && !is.null(p_opt) && input$ps && t != 0) {
g_plot <- g_plot +
geom_ribbon_pattern(data = grid %>% filter(x_val <= x_t),
aes(x = x_val, ymin = S - t, ymax = p_s_opt, fill = "Produzentenrente"),
# fill = "#ADD8E6",
pattern = "stripe",
pattern_fill = "blue",
pattern_angle = 135,
pattern_density = 0.3,
pattern_spacing = 0.01,
alpha = 0.3)
}
if (input$supp && !is.null(p_opt) && t > 0) {
g_plot <- g_plot +
geom_ribbon(data = grid %>% filter(x_val <= x_t),
aes(x = x_val, ymin = p_s_opt, ymax = p_opt, fill = "Steuererträge"),
# fill = "grey",
alpha = 1) +
geom_ribbon(data = grid %>% filter(x_val <= x_t),
aes(x = x_val, ymin = p_opt, ymax = p_d_opt, fill = "Steuererträge"),
# fill = "grey",
alpha = 1) +
geom_ribbon(data = grid %>% filter(x_val >= x_t & x_val <= x_opt),
aes(x = x_val, ymin = S - t, ymax = D, fill = "Wohlfahrtsverlust"),
# fill = "black",
alpha = 1)
# annotate("text", x = -5, y = p_opt - 15, label = "PS", color = "blue", size = 7)
}
if (t != 0) {
g_plot <- g_plot +
geom_line(aes(x = x_val, y = S - t, color = "Angebot"), size = 1.3, linetype = "solid")
}
label1 <- bquote(p[d] ~ "≈")
label2 <- bquote(p[s] ~ "≈")
label3 <- bquote(x[t] ~ "≈")
if (t != 0) {
g_plot <- g_plot +
geom_segment(aes(x = x_t, xend = x_t, y = -5, yend = p_d_opt), color = "violet", linetype = "longdash", size = 0.7) +
geom_segment(aes(x = 0, xend = x_t, y = p_d_opt, yend = p_d_opt), color = "violet", linetype = "longdash", size = 0.7) +
geom_segment(aes(x = 0, xend = x_t, y = p_s_opt, yend = p_s_opt), color = "violet", linetype = "longdash", size = 0.7) +
annotate("text", x = x_t, y = -5, label = as.expression(bquote(.(label3) ~ .(round(x_t)))), vjust = 1, hjust = 1, color = "violet", size = 5) +
annotate("text", x = 0, y = p_d_opt, label = as.expression(bquote(.(label1) ~ .(round(p_d_opt)))), vjust = 0.5, hjust = 1, color = "violet", size = 5) +
annotate("text", x = 0, y = p_s_opt, label = as.expression(bquote(.(label2) ~ .(round(p_s_opt)))), vjust = 0.5, hjust = 1, color = "violet", size = 5)
}
if ( t < 0) {
g_plot <- g_plot +
geom_segment(aes(x = x_t, xend = x_t, y = -5, yend = p_s_opt), color = "violet", linetype = "longdash", size = 0.7)
}
if (input$dem == TRUE && input$supp == TRUE) {
g_plot <- g_plot +
geom_segment(aes(x = x_opt, xend = x_opt, y = 0, yend = p_opt), color = "orange", linetype = "longdash", size = 0.7) +
geom_segment(aes(x = 0, xend = x_opt, y = p_opt, yend = p_opt), color = "orange", linetype = "longdash", size = 0.7) +
annotate("text", x = x_opt, y = 0, label = paste("x* ≈ ", round(x_opt)), vjust = 1, hjust = 0.5, color = "orange", size = 5) +
annotate("text", x = 0, y = p_opt, label = paste("p* ≈ ", round(p_opt)), vjust = 0.5, hjust = 1, color = "orange", size = 5)
}
g_plot <- g_plot +
scale_color_manual(
values = c("Angebot" = "blue", "Nachfrage" = "red"),
name = "Kurven"
) +
scale_fill_manual(
values = c("Konsumentenrente" = "#FF9999", "Produzentenrente" = "#ADD8E6", "Steuererträge" = "grey", "Wohlfahrtsverlust" = "black"), name = "") +
guides(color = guide_legend(title = "Geraden", position = "bottom", title.position = "left", title.hjust = 1))
print(g_plot)
})
})
observeEvent(input$reset, {
updateSliderInput(inputId = "slope_d", value = -1)
updateSliderInput(inputId = "slope_s", value = 1)
updateSliderInput(inputId = "tax", value = 0)
updateNumericInput(inputId = "absch_d", value = 75)
updateCheckboxInput(inputId = "cs", value = FALSE)
updateCheckboxInput(inputId = "ps", value = FALSE)
})
kons_r <- reactiveVal(0)
prod_r <- reactiveVal(0)
observeEvent(list(input$cs, input$ps, input$supp, input$tax, input$dem, input$slope_d, input$slope_s, input$absch_d), {
a_s <- input$slope_s
a_d <- input$slope_d
b_d <- input$absch_d
Ergebnisse <- opt(a_s, a_d, b_d)
p_opt <- Ergebnisse$p_opt
x_opt <- Ergebnisse$x_opt
t <- input$tax
p_s_opt <- (((t - b_d)/a_d)+(5/a_s))/((1/a_s)-(1/a_d))
p_d_opt <- p_s_opt + t
x_t <- (p_s_opt - 5)/a_s
if (input$cs == TRUE && input$supp == TRUE && input$dem == TRUE && t == 0) {
kons_r(((b_d-p_opt) * x_opt) / 2)
} else if (input$cs == TRUE && input$supp == TRUE && input$dem == TRUE && t != 0) {
kons_r(((b_d-p_d_opt) * x_t) / 2)
} else {
kons_r(0)
}
if (input$ps == TRUE && input$supp == TRUE && input$dem == TRUE && t == 0) {
prod_r((p_opt * x_opt) / 2)
} else if (input$cs == TRUE && input$supp == TRUE && input$dem == TRUE && t != 0) {
prod_r((p_s_opt * x_t) / 2)
} else {
prod_r(0)
}
})
output$kons_r <- renderUI({
kons_r_r <- round(kons_r(), digits = 2)
prod_r_r <- round(prod_r(), digits = 2)
withMathJax(HTML(paste("Konsumentenrente:", kons_r_r, "<br>",
"Produzentenrente:", prod_r_r))
)
})
steu_ber <- reactiveVal(0)
totg_ber <- reactiveVal(0)
observeEvent(list(input$cs, input$ps, input$supp, input$tax, input$dem, input$slope_d, input$slope_s, input$absch_d), {
a_s <- input$slope_s
a_d <- input$slope_d
b_d <- input$absch_d
Ergebnisse <- opt(a_s, a_d, b_d)
p_opt <- Ergebnisse$p_opt
x_opt <- Ergebnisse$x_opt
t <- input$tax
p_s_opt <- (((t - b_d)/a_d)+(5/a_s))/((1/a_s)-(1/a_d))
p_d_opt <- p_s_opt + t
x_t <- (p_s_opt - 5)/a_s
if (input$supp == TRUE && input$dem == TRUE && t > 0) {
steu_ber(-1 * (x_t*(p_d_opt-p_s_opt)))
totg_ber((p_opt-p_s_opt)*(x_opt-x_t)/2 + (p_d_opt-p_opt)*(x_opt-x_t)/2 )
}
if (input$supp == TRUE && input$dem == TRUE && t < 0) {
steu_ber(x_t*(p_s_opt-p_d_opt))
totg_ber((p_s_opt-p_opt)*(x_t-x_opt)/2 + (p_opt-p_d_opt)*(x_t-x_opt)/2 )
}
})
output$steu_totg <- renderUI({
steu <- round(steu_ber(), digits = 2)
totg <- round(totg_ber(), digits = 2)
withMathJax(HTML(paste("Steuereinnahmen:", -steu, "<br>",
"Wohlfahrtsverlust:", totg))
)
})
}
shinyApp(ui = ui, server = server)Wiederholungsfragen
Erläutern Sie, welche Güterbündel sich Nachfrager überhaupt leisten können und von welchen Determinanten diese Menge abhängt
Gehen Sie alle Nutzenfunktionen anhand der interaktiven Grafik durch und erläutern Sie, warum die Indifferenzkurven die jeweilige Form annehmen
Wie findet man die optimale Nachfrage? Welche Herangehensweisen gibt es?
Nehmen Sie eine bestimmte Klasse von Nutzenfunktionen und versuchen Sie, mithilfe einer interaktiven Grafik Einkommens-Expansionspfade, Engel-Kurven und Nachfragefunktionen zu konstruieren
Suchen Sie sich einen Partner und erklären dieser Person die Begriffe “Preiselastizität”, “Einkommenselastizität” und “Konsumentenrente”
© Prof. Frank Pisch PhD | Fachgebiet Mikroökonomie